Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích V = 5 , các đỉnh A = 2 ; 1 ; − 1 , B = 3 ; 0 ; 1 , C = 2 ; − 1 ; 3 , đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.
A. D = 0 ; 8 ; 0
B. D = 0 ; 7 ; 0
C. D = 0 ; 7 4 ; 0
D. D = 0 ; 17 4 ; 0
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích V =5, các đỉnh A 2 ; 1 ; - 1 , B 3 ; 0 ; 1 , đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.
A. D = 0 ; 8 ; 0
B. D = 0 ; 7 ; 0
C. D = 0 ; 7 4 ; 0
D. D = 0 ; 17 4 ; 0
Đáp án A.
Ta có A C → = 0 ; - 2 ; 4 ; A B → = 1 ; - 1 ; 2 ⇒ A C → ; A B → = 0 ; 4 ; 2 .
D nằm trên trục Oy nên D = 0 ; d ; 0 .
Cách 1:
Ta có A D → = - 2 ; d - 1 ; 1 ; A C → ; A B → A D → = 4 d - 1 + 2 = 4 d - 2 .
V A B C D = 1 6 A C → ; A B → A D → ⇒ 1 6 4 d - 2 = 5 ⇒ 4 d - 2 = 30 4 d - 2 = 30 ⇒ d = 8 d = - 7 .
Từ đó ta chọn A.
Cách 2:
S A B C = 1 2 A C → , A B → = 5 .
V = 5 = 1 3 . S A B C . d D ; A B C ⇒ d D ; A B C = 3 5 .
Mặt phẳng A B C : đi qua A 2 ; 1 ; - 1 và có vtpt n → = 0 ; 4 ; 2 .
⇒ A B C : 4 y - 1 + z + 1 = 0 ⇔ 2 y - 2 + z + 1 = 0 ⇔ 2 y + z - 1 = 0
d D ; A B C = 2 . d - 1 5 = 3 5 ⇔ d = 8 d = - 7 . Vậy ta chọn A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A 2 ; 1 ; - 1 , B 3 ; 0 ; 1 , C 2 ; - 1 ; 3 , điểm D thuộc Oy và thể tích của tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của đỉnh D là
A. D(0;-7;0)
B. D(0;8;0)
C. D(0;-7;0) hoặc D(0;8;0)
D. D(0;7;0) hoặc D(0;-8;0)
Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 1;1;4) , B ( 5; - 1;3), C( 2;2;m), D (3;1;5) . Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
A. m > 6
B. m < 6
C. m ¹ 6
D. m = 6
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;4), B(5;-1;3), C(2;2;m), D(3;1;5). Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
A. m > 6
B. m < 6
C. m ¹ 6
D. m = 6
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó A 2 ; 3 ; 1 , B 4 ; 1 ; − 2 , C 6 ; 3 ; 7 , D 3 ; − 2 ; 1 . Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện.
A. 15 7 .
B. 30 7
C. 30 7 .
D. 27 7 .
Đáp án D
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ta có
A B → = 2 ; − 2 ; − 3
A C → = 4 ; 0 ; 6
n → = A B → , A C → = − 12 ; − 24 ; 8 .
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là
3 x − 2 + 6 y − 3 − 2 z − 1 = 0
⇔ 3 x + 6 y − 2 z − 22 = 0.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là
d D , A B C = 3.3 + 6. − 2 − 2 − 22 3 2 + 6 2 + − 2 2 = 27 49 = 27 7 .
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D bằng
A. 3
B. 1
C. 2
D. 1 2
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với , B − 4 ; − 2 ; 0 , C 3 ; − 2 ; 1 , D 1 ; 1 ; 1 . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D bằng
A. 3
B. 1
C. 2
D. 1 2
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu S 1 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 2 z + 2 = 0 và S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 2 z - 4 = 0 . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A,B nằm trên (S1); hai đỉnh C,D nằm trên (S2 ). Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. 3 2
B. 2 3
C. 6 3
D. 6 2
