Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\)
CMR \(\sum\limits^{ }_{cyc}\sqrt{a\left(b+c\right)}\ge3.\sqrt{2abc}\)
Những câu hỏi liên quan
Biết \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=a+b+c\). CMR: \(\dfrac{a+1}{\sqrt{a^5+a+1}}+\dfrac{b+1}{\sqrt{b^5+b+1}}+\dfrac{c+1}{\sqrt{c^5+c+1}}\ge3\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+\(\sqrt{2abc}=2\)
CMR \(\sqrt{a\left(2-b\right)\left(2-c\right)}+\sqrt{b\left(2-c\right)\left(2-a\right)}+\sqrt{c\left(2-a\right)\left(2-b\right)}=\sqrt{8}+\sqrt{abc}\)
giúp mik vs nhé cảm ơn rất nhìu
Cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b+ c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) 2.CMR: \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
31 tháng 5 2023 lúc 22:11
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c = 1011. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\) + \(\sqrt{2022b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}\)+\(\sqrt{2022c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\) ≤ \(2022\sqrt{2}\)
Ta có \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{b^2-2bc+c^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac-2bc}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}\)
\(=\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\).
Vậy \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế, ta được \(VT\le\dfrac{2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}\) \(=\dfrac{4.1011}{\sqrt{2}}\) \(=2022\sqrt{2}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}ab=0\\bc=0\\ca=0\\a+b+c=1011\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1011;0;0\right)\) hoặc các hoán vị. Vậy ta có đpcm.
Đúng 1
Bình luận (0)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
18 tháng 9 2023 lúc 14:01
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(\sum a^2+\left(\sum a\right)^2\le4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\sum\limits^{ }_{cyc}\dfrac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}\)
Cho ba số thực không âm \(a;b;c\) và thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\left(a+b+1\right).\left(c+2\right)}+\sqrt{\left(b+c+1\right).\left(a+2\right)}+\sqrt{\left(c+a+1\right).\left(b+2\right)}\ge9\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn rất nhiều ạ!