Ta có : (a + b + c) \(⋮\)2

=> \(\left(a+b+c\right)^2⋮2\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)⋮2\)

=> \(\left(a+b+c\right).a+\left(a+b+c\right).b+\left(a+b+c\right).c\)

=> \(a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)

=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)

Vì \(2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)

=> \(a^2+b^2+c^2⋮2\left(\text{đpcm}\right)\)

Bài làm:

Ta có: Vì a+b+c chia hết cho 2

=> a+b+c chẵn

Nên ta xét các TH sau:

+Nếu: Cả 3 số a,b,c đều chẵn

=> a²,b²,c² đều chẵn

=> a²+b²+c² chia hết cho 2

+Nếu: Chỉ có 1 số trong 3 số a,b,c chẵn

G/s a là số chẵn, b và c là 2 số lẻ

=> a² chẵn và b²,c² lẻ

=> a²+b²+c² chẵn

=> đpcm

Cách khác: 

Xét tổng: 

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)⋮2\)

Vì a ; a + 1 ;là 2 số tự nhiên liên tiếp nên a ( a + 1 ) chia hết cho 2 tương tự b(b+1) và c(c+1) chia hết cho 2 

Mà a + b + c \(⋮\) 2 

=> \(a^2+b^2+c^2⋮\)

  giả thiết a, b, c nguyên; a² = b²+c² 

* ta biết số chính phương: n² khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1 
từ a² = b²+c², thấy b² và c² khi chia 3 không thể cùng dư 1 
vì nếu chúng cùng dư 1 thì a² = b²+c² chia 3 dư 2 vô lí 
=> hoặc b², hoặc c² có ít nhất 1 số chia 3 dư 0 => b hoặc c chia hết cho 3 
=> abc chia hết cho 3

a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3. 
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí) 
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 

b) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5. 
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4. 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí) 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí). 
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5

1) gọi số đó là ab 

theo bài ra ta có ab+ba=a+10b+b+10a=(10a+a)+(10b+b)=11a+11b

Vì 11a và 11b chia hết cho 11 nên 11a+11b chia hết cho 11

Vậy ab+ba chia hết cho 11

2) - a.b.c+ 2=333 

          a.b.c =333-2=331

- a.b.c+b=335         

b=335-331=2

- a.b.c+c=341

          c= 341-331 =10

=> Ta có: a.b.c=331

mà b=4; c=10 

=>4.10.c=331

=>40.c=331

mà 331 lại là số nguyên tố 

=> ko tồn tại các số tự nhiên a, b ,c nào

3) Có số abcd = 100ab +cd =200cd +cd (vì ab=2cd)

hay = 201cd

mà 201 chia hết cho 67

Do đó nếu ab=2cd thì abcd chia hết cho 67