Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=>  3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3 = 6 
Vậy ta được điều phải chứng minh

n²(n+1)+2n(n+1) chia hết cho 6.

Ta có:n²(n+1)+2n(n+1)

          =(n+1) (n²+2n)

          =n+1.n(n+2)

          =n.(n+1)(n+2)

Vì n;(n+1);(n+2) là ba số tự nhiên liên tiếp (với mọi số nguyên n) nên:

     n.(n+1)(n+2) chia hết cho 2 

và n.(n+1)(n+2) chia hết cho 3

      =>n.(n+1)(n+2)chia hết cho(2.3)

hayn.(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Vậy n²(n+1)+2n(n+1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n(đpcm)

a) Thay x = 4 vào biểu thức A :

A = 4⁵ - 5.4⁴+ 5.4³ - 5.4² + 5.4 -1

= 3

b) Thay x = 21 vào B :

B = 21⁶ - 20.21⁵ - 20.21⁴ -20.21³ - 20.21² - 20.21+3

=24

\(A=x^2+3x-5=x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{29}{4}\)

\(=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{29}{4}\ge-\frac{29}{4}\)

Vậy \(A_{min}=-\frac{29}{4}\Leftrightarrow x+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

\(\left(2x+1\right)^2-3\left(x-1\right)^2-\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(=\left(2.\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right)^2-3\left(-\frac{1}{2}-1\right)^2-\left(-\frac{1}{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\)

\(=-3\left(-\frac{9}{4}\right)-\frac{1}{2}.\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(=\frac{27}{4}+\frac{3}{4}=\frac{31}{4}\)

còn đâu tự lm nha ! 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)

\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)

\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)

Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\) 

\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)

Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)

\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)

\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))

 Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)

công thức tổng quát: f(x)=x^{3        sdasdasdadasd}

thank