từ đó lần lược chứng minh đoạn thẳng ấy song song với từng đáy

gọi G là trung điểm AC ta có

#1: AB//CD thì

#2: AB không // với CD thì EF<EG+GFnên

từ đó suy ra đpcm

Gọi M. N, P và Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, BC và DA của tứ giác lồi ABCD

Khi đó :

\(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)  và \(\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}\right)\)

Ta có : \(\left|\overrightarrow{MN}\right|+\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}\right|\right)\)

                                  \(\le\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{AD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{BA}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD}\)

Suy ra điều cần chứng minh

Giải

Gọi M, N, I là trung điểm của hai cạnh AB, CD và đường chéo AC

Trong \(\Delta\)ABD ta có: MI = \(\frac{AD}{2}\)

và MI // AD (vì MI là đường trung bình)

Trong \(\Delta\)BCD ta có: NI = \(\frac{BC}{2}\)

và NI // BC (NI là đường trung bình)

=> MI + NI = \(\frac{AD+BC}{2}\) (1)

Mặt khác, theo giả thiết MN = \(\frac{AD+BC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => MN = MI + NI, đẳng thức này chứng tỏ I nằm trên đoạn MN

Vậy MN song song với AD và BC, hay tứ giác ABCD là hình thang