xin cho hỏi cậu có viết sai đề bài ko vậy

Giả sử tồn tại a và b sao cho \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)               \(\left(a>b\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)

Dễ dàng thấy : do \(a>b\) nên \(\frac{1}{a-b}\ge0\) và b-a<0 <=> \(\frac{b-a}{ab}

Bài này cần chú ý: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

Và \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Thêm 3 vào 2 vế ta cần chứng minh:

\(\frac{2}{1-a}+\frac{2}{1-b}+\frac{2}{1-c}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2}\) (chia hai vế cho 2 và chú ý 1 =a + b + c)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{ac}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)+\left(\frac{1}{ac}-\frac{a+b+2c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Quy đồng mỗi cái ngoặc to phía sau là thấy nó > 0:D

Giả sử c = min{a,b,c} như vậy (a-c)(b-c)\(\ge0\) chúng ta có đpcm.

Is that true?

WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\). Áp dụng một bổ đề trong một bài giải của alibaba nguyễn trong câu hỏi của Neet ở học 24. Mọi người có thể tự chứng minh để nhớ lâu hoặc ai cần có thể hỏi ổng

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\) với a,b,c>0

Khi đó ta cần chứng minh \(2\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+2\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2}\ge\frac{b}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+c+2b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)*đúng với \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)*

Lục vui câu hỏi của cô Chi thấy vài bài ngon mà mấy God dùng đao to vãi :))

\(\frac{1+a}{1-a}=\frac{1-a+2a}{1-a}=1+\frac{2a}{1-a}=1+\frac{2a}{b+c}\)

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(3+\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\le2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\le\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)

Mặt khác:

\(LHS=\Sigma\frac{ac}{b\left(b+c\right)}=\Sigma\frac{a^2c^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\Sigma abc\left(b+c\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

Tuy nhiên đây là bổ đề quen thuộc

Vậy ta có đpcm

Ta có:  \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)\(\Rightarrow\)\(\left(b-a\right).\left(a-b\right)=1.ab\)(nhân chéo) 

\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a-b\right).\left(a-b\right)=ab\)\(\Leftrightarrow\)\(-\left(a-b\right)^2=ab\)

Lại có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)với mọi a;b nên ab \(\le\)0  

Vậy số cặp số dương a và b là 0 (cặp)

Bài 1: diendantoanhoc.net

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành

\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)

Bổ sung bài 1:

BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

(a;b)=(3;8);(8;3);(4:5);(5:4)

cho đúng đã thì mới giúp bọn kia toàn trả lời sai

Bài 2:b) \(9=\left(\frac{1}{a^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{b^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{c^3}+1+1\right)\)

\(\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)

Ta sẽ chứng minh \(P\le\frac{1}{48}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

Ai có cách hay?

1/Đặt a=1/x,b=1/y,c=1/z ->x+y+z=1.

2a) \(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

\(=\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^4b^4}\right]}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^3b^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left(ab\right)^3}\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]^3}=\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)

Thôi đành dồn về bậc dễ chịu hơn vậy :))
\(9=\frac{1}{a^3}+1+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+1+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+1+\frac{1}{c^3}\)

\(\ge\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}+\frac{3}{c^2}\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le3\)

Đến đây ta có đánh giá bằng 2 cách như sau:

Cách 1:

Theo Bunhiacopski ta dễ có:

\(\left[2a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4\cdot2a\left(b+c\right)\Rightarrow\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{8a\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{1}{8}\left[\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\right]\le\frac{1}{8}\left[\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4bc}\right]\le\frac{1}{8}\left[\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]\)

Khi đó:

\(P\le\frac{1}{8}\left[\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{8b^2}+\frac{1}{8c^2}+\frac{1}{4b^2}+\frac{1}{8a^2}+\frac{1}{8c^2}+\frac{1}{4c^2}+\frac{1}{8a^2}+\frac{1}{8b^2}\right]=\frac{3}{16}\)

Cách 2:

Áp dụng liên tiếp BĐT phụ dạng \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta dễ có rằng:

\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}=\left(\frac{1}{2a+b+c}\right)^2=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2=\frac{1}{16}\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\right]\)

\(\Rightarrow16P\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{2}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

\(\le\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

\(\le4\cdot\frac{1}{16}\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\cdot\left(3+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{16}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1