Ta có : p⁸ⁿ+3p⁴ⁿ- 4 = (p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có tận cùng là chữ số 1;3;7 hoặc 9

+) Với p = (...1), ta có: p⁴ⁿ=(...1)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...3), ta có: p⁴ⁿ=(...3)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...7), ta có: p⁴ⁿ=(...7)⁴ⁿ=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

+) Với p = (...9), ta có: p⁴ⁿ=[(...9)²ⁿ]²=(...1)²=(...1)

=> (p⁴ⁿ)²=(...1)²=(...1); 3p⁴ⁿ= 3.(...1)=(...3)

=>(p⁴ⁿ)²+3p⁴ⁿ- 4=(...1)+(...3)-4=(...0) chia hết cho 5

Vậy p⁸ⁿ+3p⁴ⁿ- 4 chia hết cho 5 khi p là số nguyên tố lớn hơn 5

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

3)                         CM:p+1 chia hết cho 2

vì p lớn hơn 3 suy ra p là số lẻ và p+1 là số chẵn.

Vậy p+1 chia hết cho 2

                             CM:p+1 chia hết cho 3

Ta có:p x (p+1) x (p+2) chia hết cho 3(vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 3)

Mà p và p+2 là số nguyên tố nên p và p+2 ko chia hết cho 3

Vậy p+1 chia hết cho 3

Mà ƯCLN(2,3) là 1

Vậy p+1 chia hết cho 2x3 là 6

Vậy p+1 chia hết cho 6 với mọi p lớn hơn 3 và p+2 cùng là số nguyên tố.  

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

Ta thấy các số nguyên tố lớn hơn 5 nâng lên lũy thừa có số mũ chia hết cho 4 thì có tận cùng là 1.

VD:7⁴=2401;11⁸=214358881,...

=>Ta có:

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=(...1)+3.(...1)-4

=(...1)+(...3)-4

=(...4)-4

=(...0) chia hết cho 5 

Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5

Ta có: 

p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4

=p^4n.2+3.p⁴ⁿ-4

=(p⁴ⁿ)²+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.p⁴ⁿ+3.p⁴ⁿ-4

=p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4

Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:

p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.

Mà p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia 5 dư 4.

=> p chia 5 dư 4 => p⁴ⁿ.(p⁴ⁿ+3)-4 chia hết cho 5.

=> p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ -4 chia hết cho 5.

=>ĐPCM.

1.Áp dụng định lý Fermat nhỏ.

1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)

và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

=> \(a^5-a⋮5\)

Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5

Cách 2

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Do a nguyên nên a có 5 dạng:\(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)

Nếu \(a=5k\Rightarrow a^5-a=5k\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+1\Rightarrow a^5-a=a\cdot5k\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+2\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+20k+5\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+3\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(25k^2+30k+10\right)⋮5\)

Nếu \(a=5k+4\Rightarrow a^5-a=a\left(a-1\right)\left(5k+5\right)\left(a^2+1\right)⋮5\)

Vậy \(a^5-a⋮5\)

Câu hỏi của Bùi Quang Vinh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath fedg

1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240(q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì pp là số nguyến tố lớn hơn 55 nên pp là số lẻ
⟹(p−1)(p+1)⟹(p−1)(p+1) là tích của 22 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 88 (1)(1)
Do p>5p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)(2)
mặt khác vì pp là số lẻ nên p2p2 là số lẻ →p2+1→p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2p2+1 ⋮ 2 (3)(3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5p4−1 ⋮ 5:
pp có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5kp=5k mà pp là số nguyến tố nên k=1→p=5k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5⟹p4−1 ⋮ 5 (4)(4)
từ (1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4), suy ra p4−1p4−1 chia hết cho 2.3.5.82.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................