ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Xét n=1 ta có : \(10^n+18n-1=27\text{ chia hết cho 27}\)

Giả sử điều kiện đúng tới n hay \(10^n+18n-1\text{ chia hết cho 27}\)

Xét tại n+1 ta có \(10^{n+1}+18\left(n+1\right)-1=10\times10^n+18n+17=10\times\left(10^n+18n-1\right)-162n+27\)

Dễ thấy \(10^n+18n-1\text{ chia hết cho 27}\) và \(-162n+27=27\times\left(-6n+1\right)\text{ chia hết cho 27}\)

Do đó điều kiện đúng với n+1 

Theo nguyên lý quy nạp thì A chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n

 Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Tick nhé  

Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Xin lỗi nha đề sai :

đề đúng đây :

Chứng minh 10ⁿ+18n - 1 chia hết cho 27 ( với n là số tự nhiên )

ẩu quá

10ⁿ+18n-1

=10ⁿ-1-9n+27n

=99..9-9n+27n=9(11..1-n)+27n

  n số 9               n số 1

vì 11...1(n số 1) có tổng các chữ số =n =>11..1-n chia hết cho 3

                                                              n số 1

=>9(11...1-n) chia hết cho 27 10ⁿ+18n-1 chia hết cho 27(đpcm)

       n số 1  

mih đồng ý với Hoàng Phúc

Ta có :

10ⁿ + 18n - 1 = 1000...00 (n số 0) + 18n - 1

                      = (100...00 - 1) +18n

                      = 999...999 (n số 9) + 18n                       

Vì :

Vì 9 x 3 = 27 nên  999...999 + 18n chia hết cho 27

\(\Rightarrow\)10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27

Chứng minh quy nạp theo n 

\(10^n+18n-1⋮27\)

+) với n = 0 ta có: \(10^0+18.0-1=0⋮27\)

=> (1) đúng với n =0

+) g/s (1) đúng cho tới n ( với n là số tư nhiên )

+) ta chứng minh (1) đúng với n + 1

Ta có: \(10^{n+1}+18\left(n+1\right)-1=10.10^n+18n+17=10\left(10^n+18n-1\right)-10.18n+10+18n+17\)

\(=10\left(10^n+18n-1\right)-9.18n+27⋮27\)

=> ( 1) đúng với n + 1

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n

\(10^n\)+18n -1=10..00(có n chữ số 0) -1+18n

                    =99...9(có n chữ số 9)-9n+27n

                    =9x(11...1(có n chữ số 1)-n)+27n

Ta thấy số 111...1 có n chữ số 1. Vậy tổng các chữ số của nó là n

Vậy 111...1(có n chữ số 1) và n chia 3 có cùng số dư

Vậy 111..1(có n chữ số 1)-n chia hết cho 3

Suy ra: 9x(11...1(có n chữ số 1)-n) chia hết cho 27, 27n chia hết cho 27

Suy ra A chia hết cho 27(đpcm)

A = 10ⁿ + 18n - 1
B1: Xét n = 1
=> A = 10 + 18 -1 = 27 ⋮ 27
Vậy với n = 1, mệnh đề đúng.
B2: Giả sử với n = k, mệnh đề đúng, tức là: 10^k + 18k - 1 ⋮ 27
B3: Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng. Tức là: 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp:
10^k+1 + 18k + 18 - 1 = 10^k.10 + 18k.10 - 10 + 27 - 9.18k = 10.(10^k + 18k - 1) + (27 - 6.27k)
Có: 10.(10^k + 18k - 1) ⋮ 27
(27 - 6.27k) ⋮ 27
=> 10^k+1 + 18(k+1) - 1 ⋮ 27.
=> Điều phải chứng minh