\(60=3.4.5\)

Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3

Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x² ; y² và z² chia cho 3 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )

Vô lí vì  \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4

Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3

- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x² ; y² và z² chia 4 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại ) 

- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4

- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ

+) Với x ; y lẻ thì  \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )

+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau : 

Các trường hợp khác tương tự

Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\)  . Trong khi đó y² không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn 

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5

Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x² ; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1

- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )

Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)

cảm ơn bạn Death Note đã giúp mk nhé!

x.y-x.z+y.z-z^2+1=0

x.y-x.z+y.z-z^2   =-1

x(y-z)+z(y-z)       =-1

(x+z)(y-z)            =-1

=> x và y đối nhau

=> x+y=0

 +)  Nếu x,y,z khác số dư khi chia cho 3

    - Nếu có 2 số chia hết cho 3 . Số còn lại không chia hết cho 3 . Giả sử x,y đều chia hết cho 3, z không chia hết cho 3 =>x+y+z không chia hết cho 3. Do x,y đều chia hết cho 3 nên (x−y)⋮3 => (x−y)(y−z)(z−x) ⋮3  (Vô lý do (x−y)(y−z)(z−x)=x+y+z(x−y)(y−z)(z−x)=x+y+z)

    - Nếu có 1 số chia hết cho 3, 2 số còn lại khác số chia khi chia cho 3, không chia hết cho 3.Tương tự dẫn đến vô lý.

Vậy cả 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 => (x−y)⋮3 , (y−z)⋮3 , (z−x)⋮3 => (x−y)(y−z)(z−x)⋮27 => (x+y+z)⋮27

Xét 3 số dư của x,y,z khi chia cho 3

+) Nếu 3 số dư là khác nhau thì 3 số dư đó là 0, 1 và 2. Khi đó \(\left(x+y+z\right)⋮3\)

Khi đó, ta cũng có \(\left(x-y\right);\left(y-z\right);\left(z-x\right)\)đều  không chia hết cho 3 

\(\Rightarrow\)  \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)không chia hết cho 3 ( vô lý )

+) Nếu có 2 số dư bằng nhau thì x + y + z  không chia hết cho 3

Trong khi đó một trong 3 hiệu x - y ; y - z ; z - x  chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)  không chia hết cho 3 ( vô lý )

+) Nếu có 3 số dư bằng nhau thì \(\left(x-y\right)⋮3\); \(\left(y-z\right)⋮3\); \(\left(z-x\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮27\) 

Mà \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\Rightarrow x+y+z⋮27\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

mong các bn đừng làm vậy 

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

Do \(x\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le x+2\)

Tương tự: \(y^2\le y+2\) ; \(z^2\le z+2\)

Cộng vế: \(x^2+y^2+z^2\le x+y+z+6=6\) (đpcm)

Mặt khác \(x;y;z\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge x^2+y^2+z^2\) (đpcm)