Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y -1 =0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -6x -4y -2z -11 =0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z + m = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y -6z - 2= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Chọn C
(S) có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4
Gọi H là hình chiếu của I lên (P).
(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. (Q): 2y+z=0
B. (Q): 2x-z=0
C. (Q): y-2z=0
D. (Q): 2y-z=0
Đáp án D
Phương pháp:
Trong đó
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
R: bán kính hình cầu.
Cách giải:
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0
=> (S) có tâm I(3;-2;1) bán kính R = 3
(Q) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2
Ta có
là một VTCP (Q)
Khi đó
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT n → =(0;b;c) là:
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Phương trình mặt phẳng (Q): 2y -z =0
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là
A. (Q): 2y + z = 0
B. (Q): 2x - z = 0
C. (Q): y - 2z = 0
D. (Q): 2y - z = 0
Đáp án D
Phương pháp: d 2 + r 2 = R 2
Trong đó,
d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),
r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S)
và mặt phẳng (P),
R: bán kính hình cầu.
Cách giải:
(S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 <=> x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 9
=> (S) có tâm I(3; –2;1) bán kính R = 3
(Q) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2
Ta có:
d
2
+
r
2
=
R
2
Gọi n → a ; b ; c , n → ≠ 0 là một VTPT của (Q). Khi đó n → vuông góc với VTCP n → 1 ; 0 ; 0 của Ox
=>1.a + 0.b +).c = 0 ó a = 0
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT n → 0 ; b ; c , n → ≠ 0 là:
0.(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0) ó by + cz = 0
Khoảng cách từ tâm I đến (Q):
Cho c = –1 => b = 2 => n → 0 ; 2 ; - 1
Phương trình mặt phẳng (Q): 2y - z = 0
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z -16 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
A. r = 6
B. r = 2 2
C. r = 4
D. r = 2 3
Chọn C
Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z -16 = 0 có tâm I (1; -2; 2) bán kính R = 5
Khoảng cách từ I (1; -2; 2) đến mặt phẳng (P): x + 2y - 2z - 2 = 0 là
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0 . Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3 ?
A. 4 x - 3 y - z - 4 26 = 0
B. 2 x + 2 y - z + 12 = 0
C. 3 x - 4 y + 5 z - 17 + 20 2 = 0
D. x + y + z + 3 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0 . Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3?
A. 4 x - 3 y - z - 4 26 = 0
B. 2x+2y-z+12=0
C. 3 x - 4 y + 5 z - 17 + 20 2 = 0
D. x + y + z + 3 = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;0) và bán kính R = 3 2 + 0 + 2 2 + 12 = 5
Khoảng cách từ I đến (P) là
d(I,(P))= R 2 - r 2 = 5 2 - 3 2 = 4
Đối chiếu các đáp án ta thấy:
Đáp án A:
nên loại A.
Đáp án B:
nên loại B.
Đáp án C:
nên chọn C.
Chọn đáp án C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0 . Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3?
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 12 z = 0 và mặt phẳng P : 2 x + y - z - 2 = 0 . Tính diện tích thiết diện của mặt cầu (S) cắt bởi mặt phẳng (P).
A. S = 49 π
B. S = 50 π
C. S = 25 π
D. S = 36 π
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y - 2z + m = 0 và mặt cầu (S) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4 π 3 .
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Đáp án C
Xét S : x - 1 2 + y + 2 2 + z - 3 2 = 16 có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 4
Chu vi đường tròn giao tuyến 4 π 3 = 2 πr ⇔ r = 2 3
Khi đó d I ; P = R 2 - r 2 = 4 2 - 2 3 2 = 2 ⇔ m - 6 3 = 2 ⇒ [ m = 12 m = 0