a) Ta có: \(x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2z=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\)

Mà \(5=0^2+1^2+2^2\) nên ta có dễ dàng xét được các TH

Làm tiếp nhé!

b) Ta có: \(x^2+13y^2-6xy=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6xy+9y^2\right)+4y^2=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2=100-4y^2\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-3y\right)^2\ge0\\100-4y^2\le100\end{cases}}\Rightarrow0\le100-4y^2\le100\)

\(\Rightarrow y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5\right\}\)

Ta có các TH sau:

Nếu \(y=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=\pm10\)

Nếu \(y=\pm3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-9\right)^2=64\\\left(x+9\right)^2=64\end{cases}}\Rightarrow x\in\left\{17;1;-17;-1\right\}\)

... Tự làm tiếp nhé

\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}\text{x=2}\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}\text{x=\text{-}1}\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+y^2+2.\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}-\frac{25}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)

Do x,y nguyên

\(\Rightarrow\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\orbr{\begin{cases}\frac{25}{4}\\\frac{9}{4}\end{cases}}\)(chọn những số 

\(\Rightarrow y=...\)

\(\Rightarrow x=...\)

\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)\(\Leftrightarrow x^2+2yx+\left(2y^2+3y-4\right)=0\)

Coi đây là phương trình theo ẩn x thì \(\Delta=\left(2y\right)^2-4\left(2y^2+3y-4\right)=-4y^2-12y+16\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(-4y^2-12y+16\ge0\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\Leftrightarrow\left(y+4\right)\left(y-1\right)\le0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}y+4\ge0\\y-1\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge-4\\y\le1\end{cases}}\)hay \(-4\le y\le1\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}y+4\le0\\y-1\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\le-4\\y\ge1\end{cases}}\)(loại)

Vậy \(-4\le y\le1\)mà y nguyên nên \(y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)

Thay lần lượt các giá trị của y vào phương trình đã cho, ta được:

*) \(y=-4\Rightarrow x=4\)

*) \(y=-3\Rightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)

*) \(y=-2\)(Không có giá trị nguyên của x)

*) \(y=-1\)(Không có giá trị nguyên của x)

*) \(y=0\Rightarrow x\in\left\{\pm2\right\}\)

*) \(y=1\Rightarrow x=-1\)

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(4,-4\right);\left(1,-3\right);\left(5,-3\right);\left(\pm2,0\right);\left(-1,1\right)\right\}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y^2+3y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=-\left(y-1\right)\left(y+4\right)\)

\(VT\left(2\right)\ge0\forall x,y\Rightarrow VP\left(2\right)\ge0\Rightarrow\left(y-1\right)\left(y+4\right)\le0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-1\le0\\y+4\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y-1\ge0\\y+4\le0\end{cases}\Rightarrow}-4\le y\le1\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)

- Thử lại :

\(+)y=-4:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\Leftrightarrow x=4\)

\(+)y=-3:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=2\\x-3=-2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}}\)

\(+)y=-2:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=-1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=0:\left(2\right)\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2;x=-2\)

\(+)y=1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy các nghiệm của hpt là : \(\left(4;-4\right)\);\(\left(5;-3\right)\); \(\left(1;-3\right)\); \(\left(2;0\right)\);\(\left(-2;0\right)\);\(\left(-1;1\right)\)

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, y là tham số 

(1) có nghiệm <=> Δ' ≥ 0 <=> y² - ( 2y² + 3y - 4 ) ≥ 0

<=> -y² - 3y + 4 ≥ 0 <=> -4 ≤ y ≤ 1

Vì y nguyên => y ∈ { -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 }

+) Với y = -4 (1) trở thành x² - 8x + 16 = 0 <=> ( x - 4 )² = 0 <=> x = 4 (tm)

+) Với y = -3 (1) trở thành x² - 6x + 5 = 0 <=> ( x - 1 )( x - 5 ) = 0 <=> x = 1 (tm) hoặc x = 5(tm)

+) Với y = -2 (1) trở thành x² - 4x - 2 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = -1 (1) trở thành x² - 2x - 5 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = 0 (1) trở thành x² - 4 = 0 <=> x = ±2 (tm)

+) Với y = 1 (1) trở thành x² + 2x + 1 = 0 <=> ( x + 1 )² = 0 <=> x = -1(tm)

Vậy ( x ; y ) ∈ { ( 4 ; -4 ) , ( 1 ; -3 ) , ( 5 ; -3 ) , ( 2 ; 0 ) , ( -2 ; 0 ) , ( -1 ; 1 ) }

\(PT\Leftrightarrow y\left(x^2-2x-1\right)=x^2+2x-1\).

Từ đó \(x^2-2x-1\vdots x^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow4x⋮x^2+2x-1\) (1)

\(\Rightarrow4\left(x^2+2x-1\right)-4x^2⋮x^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow8x-4⋮x^2+2x-1\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(8⋮x^2+2x-1\).

Đến đây bạn xét TH.

x²+2y²+2xy-y=3(y-1)

<=> x²+2xy+y²+y²-y=3(y-1)

<=> (x+y)²=3(y-1)-y(y-1)

<=> (x+y)²=(y-1)(3-y)

Nhận thấy, Vế trái (x+y)² \(\ge\)0 Với mọi x,y

=> Để phương trình có nghiệm thì Vế phải \(\ge\)0

<=> (y-1)(3-y)\(\ge\)0 <=> 1\(\le\)y\(\le\)3

Y nguyên => y₁=1; y₂=2; y₃=3

+/ y=1 => x=-y=-1

+/ y=2 => x=-1

+/ y=3 => x=-y=-3

Các cặp (x,y) nguyên là: (-1,1); (-1; 2); (-3,3)

Ta có \(2^x+\left(x^2+1\right)\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0\)

Mà \(2^x>0,x^2+1>0\)

=> \(\left(y-2\right)\left(y-4\right)< 0\)

=> \(2< y< 4\)

=> \(y=3\)

Thay y=3 vào đề bài ta có:

\(2^x-\left(x^2+1\right)=0\)

=> \(2^x=x^2+1\)

Mà \(2^x\)chẵn với \(x>0\)

=> \(x\)lẻ

Đặt \(x=2k+1\)(k không âm)

Khi đó \(2^{2k+1}=\left(2k+1\right)^2+1\)

=> \(2.2^{2k}=4k^2+4k+2\)

=> \(2^{2k}=2k^2+2k+1\)

+ k=0 => \(2^0=1\)thỏa mãn 

=> \(x=1\)

+ \(k>0\)=> \(2^k\)chẵn 

Mà \(2k^2+2k+1\)lẻ với mọi k

=> không giá trị nào của k thỏa mãn

Vậy x=1,y=3