Đề sai. Cho 6 số tự nhiên $1,2,3,4,5,6$ thì không có 2 số nào có hiệu chia hết cho $9$

Theo đề bài các số dư ={1;3;5;7}

=> có ít nhất 2 số khi chia cho 15 có cùng số dư ta gọi 2 số đó là là a và b

\(\Rightarrow a\equiv b\) (mod 15) \(\Rightarrow a-b⋮15\)

Một số bất kì khi chia cho 5 có thể có 5 số dư : 0;1;2;3;4

6 số bất kì  => luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư

Giả sử a =5q+k và b =5p +k   ;( 0</ k </4 )

=> a -b = 5q +k - 5p -k = 5(q-p) chia hết cho 5

*Một số tn bất kỳ khi chia cho 2015 có số dư là 1 trong 2014 số :.....

*Sau đó ta chia 1010 thành 1009 nhóm

*Theo nguyên lý Dirichlet ta có 2 trường hợp

Ta có ĐPCM

Giả sử 6 số đó tồn tại 1 cặp có cùng tận cùng (Ví dụ 1236, 26), vậy hiệu chia hết cho 5. Thỏa mãn

Giả sử không có cặp số nào cùng tận cùng, vậy các chữ số tận cùng có thể là: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9

Các cặp có hiệu chia hết cho 5 là: 6 - 1, 7 - 2, 8 -3, 9 - 4, nếu bỏ đi 2 số bất kỳ vẫn tồn tại 2 cặp có hiệu chia hết cho 5. CM xong!

7 số tự nhiên đó là: a ; a + 1 ; a + 3 ; a + 4 ; a + 7 ; a + 9 ; a + 15.

Ta được : (a + 15) - (a + 3) = (a - a) + (15 - 3) = 0 + 12 chia hết cho 12

=> điều cần chứng minh

Cho dù 2016 số có là số nào thì cũng đều có dạng \(n;n+1;n+2;...;n+2016\)

Và ta có \(n+2016-n=2015⋮2015\)

Như vậy trong 2016 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 2015

Quên, phải lấy \(n+2015-n=2015\) chứ.

Và không có số \(n+2016\), chỉ có \(n+2015\)là hết.