Ta có :

\(f'\left(x\right)=\frac{-\frac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln x}}}{\ln x}=-\frac{1}{2x\ln x\sqrt{\ln x}}< 0\) với mọi \(x\in\left[e;e^2\right]\Rightarrow\) hàm số nghịch biến với mọi \(x\in\left[e;e^2\right]\)

\(e\le x\le e^2\Rightarrow f\left(e\right)\ge f\left(x\right)\ge f\left(e^2\right)\Leftrightarrow1\ge f\left(x\right)\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)

                 \(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=1;x=e\\Min_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};x=e^2\end{cases}\)

\(f\left(x\right)=\left(\ln x\right)^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(\ln x\right)^{-\frac{3}{2}}.\frac{1}{x}=-\frac{1}{2x\ln x\sqrt{\ln x}}\)

Ta có : \(\begin{cases}f\left(e\right)=1\\f\left(e^2\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=1;x=e\\Min_{x\in\left[e;e^2\right]}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};x=e^2\end{cases}\)

\(f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-4\ln\left(3-x\right)\) trên đoạn \(\left[-2;1\right]\)

Ta có :

         \(f'\left(x\right)=x+\frac{4}{3-x}=\frac{-x^2+3x+4}{3-x}=0\Leftrightarrow-x^2+3x+4=0\)

                                                            \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\in\left[-2;1\right]\\x=4\notin\left[-2;1\right]\end{array}\right.\)

Mà : 

   \(\begin{cases}f\left(-2\right)=2-4\ln5\\f\left(-1\right)=\frac{1}{2}-8\ln2=\frac{1-16\ln2}{2}\\f\left(1\right)=\frac{1}{2}-4\ln2=\frac{1-8\ln2}{2}\end{cases}\)    \(\Rightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[-2;1\right]}f\left(x\right)=\frac{1-8\ln2}{2};x=1\\Min_{x\in\left[-2;1\right]}f\left(x\right)=\frac{1-16\ln2}{2};x=-1\end{cases}\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=2x+\frac{2}{1-2x}=\frac{-4x^2+2x+2}{1-2x}=0\Leftrightarrow-4x^2+2x+2=0\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-\frac{1}{2}\in\left[-2;0\right]\\x=1\notin\left[-2;0\right]\end{array}\right.\)

Mà :

    \(\begin{cases}f\left(-2\right)=4-\ln5;x=-2\\f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\ln2=\frac{1-4\ln2}{4};x=-\frac{1}{2}\\\end{cases}\)

1. \(f\left(x\right)=e^{x^3-3x+3}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\)

Ta có : \(f'\left(x\right)=\left(3x^2-3\right)e^{x^3-3x+3}=0\Leftrightarrow3x^2-3=0\)

                                                           \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\notin\left[0;2\right]\\x=1\in\left[0;2\right]\end{array}\right.\)

mà : \(\begin{cases}f\left(0\right)=e^3\\f\left(1\right)=e\\f\left(2\right)=e^5\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[0;2\right]}f\left(x\right)=e^5;x=1\\Min_{x\in\left[0;2\right]}f\left(x\right)=e;x=2\end{cases}\)

2. \(f\left(x\right)=\ln\left(x^2-x+1\right)\) trên đoạn \(\left[1;3\right]\)

Mà \(\begin{cases}f\left(1\right)=0\\f\left(3\right)=\ln7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[1;3\right]}f\left(x\right)=\ln7;x=3\\Min_{x\in\left[1;3\right]}f\left(x\right)=0;x=1\end{cases}\)

Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+)\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)hoặc \(x=-2\notin\left[\frac{1}{2};2\right]\)

+) \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6};f\left(2\right)=\frac{7}{3}\)

Vậy \(minf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{6}\) khi \(x=\frac{1}{2}\)

       \(maxf\left(x\right)_{x\in\left[\frac{1}{2};2\right]}=\frac{7}{3}\) khi \(x=2\)

1. \(f\left(x\right)=e^x\left(x^2-x-1\right)\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\)

Ta có :

       \(f'\left(x\right)=e^x\left(x^2-x-1\right)+e^x\left(2x-1\right)=e^x\left(x^2+x-2\right)=0\)

       \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-2\notin\left[0;3\right]\\x=1\in\left[0;3\right]\end{array}\right.\)

Mà : \(\begin{cases}f\left(0\right)=-1\\f\left(1\right)=-e\\f\left(3\right)=6e^3\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[0;3\right]}f\left(x\right)=6e^3;x=3\\Min_{x\in\left[0;3\right]}f\left(x\right)=-e;x=1\end{cases}\)

2. \(f\left(x\right)=x-e^{2x}\) trên đoạn \(\left[-1;0\right]\)

Ta có : 

             \(f'\left(x\right)=1-2e^{2x}=0\Leftrightarrow e^{2x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow e^{2x}=e^{\ln\frac{1}{2}}\)

                                              \(\Leftrightarrow2x=\ln\frac{1}{2}=-\ln2\Leftrightarrow x=\frac{-\ln2}{2}\in\left[-1;0\right]\)

Mà : 

\(\begin{cases}f\left(-1\right)=-1-\frac{1}{e^2}=-\frac{e^2+1}{e^2}\\f\left(-\frac{\ln2}{2}\right)=\frac{-\ln2}{2}-e^{-\ln2}=\frac{-\ln2}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1+\ln2}{2}\\f\left(0\right)=-1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}Max_{x\in\left[-1;0\right]}f\left(x\right)=-\frac{1+\ln2}{2};x=-\frac{\ln2}{2}\\Min_{x\in\left[-1;0\right]}f\left(x\right)=-\frac{e^2+1}{e^2};x=-1\end{cases}\)