Lời giải:

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là $a,a+1, a+2$

Tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp:

$a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3a^3+9a^2+15a+9$

$=3(a^3+3a^2+5a+3)$

$=3(a+1)(a^2+2a+3)$

Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a^2+2a+3\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Nếu $a$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a+2\vdots 3\Rightarrow a(a+2)\vdots 3$

$\Rightarrow a^2+2a+3=a(a+2)+3\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ thì $a+1\vdots 3$

$\Rightarrow 3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$

Từ các TH trên suy ra $a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=3(a+1)(a^2+2a+3)\vdots 9$ với mọi $a$

1.Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2

   Có: a+(a+1)+(a+2)=a+a+a+1+2=3a+3=3(a+1)\(⋮\) 3 

Vậy ...

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là a, a+1, a+2,a+3,a+4

Có : a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)= a+a+a+a+a+1+2+3+4=5a+10=5(a+2)\(⋮\) 5

Vậy ...

2.

+)Gọi 3 số chẵn liên tiếp là a, a+2,a+4 

Có : a+(a+2)+(a+4)=a+a+a+2+4=3a+6

mà a là số chẵn nên 3a \(⋮\) 6 

\(\Rightarrow\) 3a+6\(⋮\) 6

Vậy ....

+) ngược lại ý đầu 

+)Gọi 5 số chẵn liên tiếp là a, a+2,a+4 , a-2,a-4

Có : a+(a+2)+(a+4)+(a-2)+(a-4)=a+a+a+a+a+2+4-2-4=5a

mà a là số chẵn nên 5a \(⋮\) 10 

\(\Rightarrow\) 5a\(⋮\) 10

Vậy ....

+) ngược lại ý 3

-Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp la a;a+1;a+2

Tổng 3 số trên là:

a+(a+1)+(a+2)=(a+a+a)+(1+2)=a.3+3 chia hết cho 3

Câu còn lại làm giống vậy

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là : a;a+1;a+2

Ta có: a+a+1+a+2=a+a+a+3

                                 = a.3+3

=> tổng 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: a;a+1;a+2;a+3;a+4

Ta có: a+a+1+a+2+a+3+a+4= a.5+10

                                              = a.5+5.2

                                               = 5.(a+2)

=> tổng 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5

a,

Gọi 3 số tự nhiên lt đó là a, a+1, a+2, ta có tổng chúng là:

a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 

Mà 3a \(⋮3;3⋮3\)

=> 3a + 3 \(⋮3\)

Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

b, 

Gọi 4 số tn lt đó lần lượt là a, a+1, a+2, a+3, ta có tổng chúng là:ư

a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 4a + 6 = 4a + 4 + 2 

Mà \(4a⋮4;4⋮4\), 2 chia 4 dư 2 

Vậy tổng 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 mà chia 4 dư 2

c, 

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là a, a+11, ta có tích chúng là:

a[a + 1] 

*Nếu a chẵn thì đương nhiên a[a + 1] chia hết cho 2

* nếu a lẻ thì a + 1 sẽ chia hết cho 2 nên a[a + 1] chia hết cho 2

Vậy tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

d, 

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a,a+1, a+2, ta có tích chúng là:

a[a+1][a+2]

* cm a[a+1][a+2] chia hết cho 2

** nếu a lẻ thì a + 1 chia hết cho 2 => a[a+1][a+2] chia hết cho 2

** nếu a chẵn thì a và a+2 chia hết cho 2 => a[a+1][a+2] chia hết cho 2

Vậy a[a+1][a+2] chia hết cho 2

* cm a[a+1][a+2] chia hết cho 3

Ta có mọi số tự nhiên đều có dạng 3k, 3k+1 hoặc 3k + 2

** nếu a = 3k => a chia hết cho 3 => a[a+1][a+2] chia hết cho 3

** nếu a = 3k + 1 => a + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 => a[a+1][a+2] chia hết cho 3

** nếu a = 3k + 2 => a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 => a[a+1][a+2] chia hết cho 3

Vậy a[a+1][a+2] chia hết cho 3

Kết luận: tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 và 3

e, 

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰ 

= 2[1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰] \(⋮2\)

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰ 

= [2 + 2² + 2³] + 2⁴[2 + 2² + 2³] + 2⁸[2 + 2² + 2³] + ... + 2⁵⁶[2 + 2² + 2³]

= 14 + 2⁴.14 +... + 2⁵⁶.14

= 7 . 2[1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶] \(⋮7\)

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰ 

= [2 + 2² + 2³ + 2⁴] + 2⁵[2 + 2² + 2³ + 2⁴] + ... +2⁵⁵[2 + 2² + 2³ + 2⁴] 

= 30 + 2⁵.30 + ... + 2⁵⁵.30

= 5.6 + 2⁵.5.6 + ... + 2⁵⁵.5.6

= 5[1.6 + 2⁵.6 + ... + 2⁵⁵.6] \(⋮5\)

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰ 

= [2 + 2² + 2³ + 2⁴] + 2⁵[2 + 2² + 2³ + 2⁴] + ... +2⁵⁵[2 + 2² + 2³ + 2⁴] 

= 30 + 2⁵.30 + ... + 2⁵⁵.30

= 15.2 + 2⁵.15.2 + ... + 2⁵⁵.15.2

= 15[1.2 + 2⁵.2 + ... + 2⁵⁵.2]\(⋮15\)

Vậy 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁶⁰ chia hết cho 2,5,7,15

g, 

10²⁰⁰⁵ - 1 = 1000....000 - 1 [có 2005 chữ số 0]

               = 999.....9999 [2004 chữ số 9] 

Mà 999.....9999 \(⋮9\)[vì 9.2004 chia hết cho 9]

=> 10²⁰⁰⁵ - 1 chia hết cho 9

Mà một số chia hết cho 9 sẽ chia hết cho 3 [VD: 9k = 3.3.k chia hết cho 3]

=> 10²⁰⁰⁵ - 1 chia hết cho 3

Vậy 10²⁰⁰⁵ - 1 chia hết cho 3 và 9

h, 

Ta có:

10²⁰⁰⁵ + 2 = 10²⁰⁰⁵ - 1 + 3

Mà 10²⁰⁰⁵ - 1 chia hết cho 3 [chứng minh trên]

Lại có: 3 chia hết cho 3

=> 10²⁰⁰⁵ + 2 chia hết cho 3

Mà 10²⁰⁰⁵ + 2 = 9999....9 + 3 = 1000000000.....2 [2004 chữ số 0] có tổng các chữ số là:

1 + 0 + 0 + ... + 0 + 2 = 3 không chia hết cho 9

Vậy 10²⁰⁰⁵ + 2 không chia hết cho 9 [mình nghĩ bạn ghi đề nhầm]

Gọi 2 số tự nguyên liên tiếp là:  a và  a+1

Tích của chúng là:  A  =  a(a+1)

=>  đpcm

a. Gọi 3 số đó là a; a+1; a+2

Ta có: a+ a+1 + a+2 = 3a +3

3 chia hết cho 3 => 3a chia hết cho 3

=> 3a+3 chia hết cho 3

=> Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

Tương tự câu b, c, d nha

 a) Xét 3 số tự nhiên liên tiếp a; a+1 ; a +2

Nếu a chia hết cho 3 thì a=3k (k thuộc N) khi đó a+1= 3k+1, còn a+2=3k+2  là những số không chia hết cho 3

Nếu a=3k+1 thì a+1=3k+2 không chia hết cho 3 còn a+2=3k+3 chia hết cho 3

Nếu a=3k+2 thì a+2=3k+4 không chia hết cho 4, còn a+1=3k+3 chia hết cho 3

b)gói 5 số đó là

n-1;n;n+1;n+2;n+3

ta có:(n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=5n+5 chia hết cho 5

vậy tổng 5 số nguyên liên tiếp là bội của 5

gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a;a+1;a+2.

ta có:

a+a+1+a+2

= a+a+a+1+2

= 3a+3 chia hết cho 3

xong

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2

ta có : a+(a++)+(a+2)

          =a+a+1+a+2=(a+a+a)+(1+3)

         =3a+3=3.(a+1)\(⋮\) 3

 Vậy 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

Gọi ba số tự nhiên bất kỳ là : a; a+1; a+2.

Ta có:

a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 = 3 x (a+1) chia hết cho 3

=> (đpcm)

gọi 3 số tự nhiên Liên tiếp là: a,a+1,a+2. => a+(a+1)(a+2)=a+a+1+a+2=3a+3. 3a chia hết cho 3,3 cũng chia hết cho 3 => tổng này luôn luôn chia hết cho 3

gọi 3 số tự nhiên Liên tiếp là: a,a+1,a+2.

=> a+(a+1)(a+2)=a+a+1+a+2=3a+3.

3a chia hết cho 3,3 cũng chia hết cho 3

=> tổng này luôn luôn chia hết cho 3.