chứng minh bằng quy nạp "cho a khác 0 và 1/a nguyên chứng minh với mọi n nguyên thì an+1/an nguyên"
Chứng minh theo quy nạp
Dãy số Fn=2^2^n +1 với n thuộc N gọi là các số fermat
a) Chứng minh Fn=F0F1.....Fn-1 +2 với mọi n nguyên dương
b) Từ đó chứng minh (Fm,Fn)=1 với mọi m khác n nguyên dương
Cho a khác 0 và a+1/a nguyên. Chứng minh rằng với n nguyên thì an+1/an nguyên
a+1/a là số nguyên.
=>a+1 chia hết cho a
=>1 chia hết cho a
=>a=Ư(1)=(-1,1)
Xét a=1=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Xét a=-1.
Với n chẵn=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Với n lẻ=>an+1=-1+1=0 chia hết cho -1=(-1)n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Vậy an+1/a là số nguyên.
Bạn Lê Chí Cường giải không đúng, do hiểu nhầm \(a+\frac{1}{a}\). là \(\frac{a+1}{a}\).
Bài này giải như sau: Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp rằng \(a^n+\frac{1}{a^n}\) là số nguyên dương với mọi \(n\) nguyên dương.
Thực vậy, theo giả thiết \(a+\frac{1}{a}\in Z\) nên khẳng định đúng khi \(n=1.\)
Với \(n=2,\) thì ta có \(a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\in Z.\)
Giả sử rằng \(a^k+\frac{1}{a^k}\) là số nguyên dương với mọi \(k\) nguyên dương với mọi \(k=1,\ldots,n\). Ta cần chứng minh \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên. Thực vậy, ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)=\left(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\right)+\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\)
\(\to a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)-\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\).
Theo giả thiết quy nạp \(\left(a+\frac{1}{a}\right),\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right),\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\) là các số nguyên nên \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên.
Vậy khẳng định đúng với \(n+1.\). Theo nguyên lí quy nạp khẳng định đúng với mọi số nguyên dương \(n.\)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
Chứng minh rằng n4-n2 chia hết cho 12 với mọi số nguyên dương n
Vậy đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử với n = k \(\left(k\ge1\right)\), khi đó ta có:\(k^4-k^2\) chia hết cho 12
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.Ta có:
(k + 1)4 - (k + 1)2
\(=\left(k+1\right)^2\left[\left(k+1\right)^2-1\right]\)
\(=\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)k\) chia hết cho 12
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Kết luận: Vậy n4 - n2 chia hết cho 12 với mọi số nguyên dương N.
P/s: e chưa đc học phương pháp quy nạp nên chỉ có thể nhìn theo bài mẫu rồi trình bày tương tự thoy, nên có j sai, mong a bỏ qua cho a~ ^^
1.a,Tìm stn n để 9n+24 và 3n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
b,Tìm số nguyên tố n sao cho n+2 và n+4 đều là số nguyên tố
2.a,Chứng minh với mọi số nguyên x,y nếu:6x+11y chia hết cho 31 thì x+7y chia hết cho 31
b,Chứng minh rằng với mọi STN n khác 0 thì 2n+1 và n(n+1)là 2 số nguyên tố cùng nhau
MNG IUPS EM VS Ạ :))
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a khác 0 và a khác -1 thì 2a+1/ 2a2+2a là phân số tối giản.
ta có: \(\frac{2a+1}{2a^2+2a}=\frac{2a+1}{2a\left(a+1\right)}\)
nhận xét: 2a và 2a +1 là 2 số nguyên liên tiếp nên 2a và 2a + 1 không có ước chung nào khác 1; -1 (*)
gọi d = ƯCLN(2a+1; a+1)
=> 2a+1 chia hết cho d và
a+ 1 chia hết cho d
=> 2a+ 1 - 2(a+1) = -1 chia hết cho d => d = 1 hoặc -1 => 2a+ 1 và a+ 1 nguyên tố cùng nhau hay chúng ko có ước chung nào khác 1; -1 (**)
Từ (*)(**) => 2a + 1 và 2a.(a+ 1) nguyên tố cùng nhau => phân số đã cho là tối giản
a) chứng minh rằng khi nla số tự nhiên khác 0 thì n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
b)chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau là nguyên tố cùng nhau :2n+3 va 4n+8
e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1
còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau.
ta có
gọi d là ƯCLN (3n+1 ; 4n+1)
suy ra 3n+1 chia hết cho d
4n+1 chia hết cho d
thì 12n +4 chia hết cho d
12n+3 chia hết cho d
suy ra 12n+4 -12n+3 chia hết cho d
suy ra 1 chia hết cho d
suy ra d =1
vậy 2 số này là 2 số nguyên tố cùng nhau
Chứng minh rằng:\(a^{^n}\ge an.\)Với mọi n nguyên dương và a cũng nguyên dương.
đương nhiên rùi nên o phải chứng minh
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
\(5n=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
(quy nạp)
\(1^2+2^2+3^2+.......+n^2=1\times\left(2-1\right)+2\times\left(3-1\right)+.......+n\left(\left(n+1\right)-1\right)\)=\(\left(1.2+2.3+3.4+......+n\left(n+1\right)\right)-\left(1+2+3+.....+n\right)\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-0.1.2}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
sử dụng qui nạp:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*)
(*) đúng khi n= 1
giả sử (*) đúng với n= k, ta có:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1)
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) + (k + 1)²
= (k+1)\(\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right)\)= (k + 1)\(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k^2+7k+6}{6}\) = (k + 1)\(\frac{2k^2+4k+3k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)}{6}\) = (k + 1)\(\frac{\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*
Hồng Trinh đúng rồi nhưng mà dùng quy nạp cơ