ta có 343=7^3

vì 9n^3 không chia hết cho 7

vì 9n^2 không chia hết cho 7

vì 3n  không chia hết cho 7

vì 16  không chia hết cho 7

=> 9n^3+9n^2+3n-16 không chia hết cho 343

a) Ta lam theo cach quy nap, Dat n=k

\(n^2+11n-10=k^2+11k-10\)khong chia het cho 49

Ta phai chung minh cung dung voi k+1

Ta co: \(\left(k+1\right)^2+11\left(k+1\right)-10=k^2+2k+1+11k+11-10=k^2+13k+2\)

\(=k^2+2\times k\times\frac{13}{2}+\frac{169}{4}-\frac{169}{4}+2=\left(k+\frac{13}{2}\right)^2-40,25\) khong chia het cho 49

=> DPCM

Bài 1 :

a) Ta có :

\(4n-7=4n+12-19=4.\left(n+3\right)-19\)

Ta thấy \(4.\left(n+3\right)⋮n+3\Rightarrow\left(-19\right)⋮n+3\Rightarrow\left(n+3\right)\inƯ\left(-19\right)\)

\(Ư\left(-19\right)=\left\{1;-1;19;-19\right\}\)

Do đó :

\(n+3=1\Rightarrow n=1-3=-2\)

\(n+3=-1\Rightarrow n=-1-3=-4\)

\(n+3=19\Rightarrow n=19-3=16\)

\(n+3=-19\Rightarrow n=-19-3=-22\)

Vậy \(n\in\left\{-2;-4;16;-22\right\}\)

BÀI 2:

a  chia  8  dư   7    \(\Rightarrow\)\(a-7\)\(⋮\)\(8\)\(\Rightarrow\)\(a-7+128\)\(⋮\)\(8\)\(\Rightarrow\)\(a+121\)\(⋮\)\(8\)

a  chia  125  dư  4    \(\Rightarrow\)\(a-4\)\(⋮\)\(125\)\(\Rightarrow\)\(a-4+125\)\(⋮\)\(125\)\(\Rightarrow\)\(a+121\) \(⋮\)\(125\)

suy ra:   \(a+121\)\(\in BC\left(8;125\right)=B\left(1024\right)=\left\{0;1024;2048;3072;...\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(a\)\(\in\left\{903;1927;....\right\}\)

mà  \(100< a< 1000\)

\(\Rightarrow\)\(a=903\)

Giả sử n²+9n+24 chia hết cho 25

=> (n+3)²+15 chia hết cho 5

=> n+3 chia hết cho 5

=> (n+3)² chia hết cho 25

=> (n+3)²+15 không chia hết cho 25 ( Vô lý)

=> giả sử sai 

=> đccm

Giả sử \(n^2+9n+24⋮25\)\(\Rightarrow n^2+9n+24⋮5\)(1)

Ta có \(n^2+9n+24\)\(=n^2+2n+7n+14+10\)\(=n\left(n+2\right)+7\left(n+2\right)+10\)\(=\left(n+2\right)\left(n+7\right)+10\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n+7\right)+10⋮5\)

Mà \(10⋮5\)nên \(\left(n+2\right)\left(n+7\right)⋮5\), mà 5 là số nguyên tố nên 1 trong 2 số \(n+2;n+7\)chia hết cho 5

Khi \(n+2⋮5\)thì \(n+2+5⋮5\)hay \(n+7⋮5\)\(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n+7\right)⋮25\)

Lại có \(\left(n+2\right)\left(n+7\right)+10⋮25\)(giả sử) nên \(10⋮25\)(vô lí)

Khi \(n+7⋮5\)thì \(n+7-5⋮5\)hay \(n+2⋮5\)\(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n+7\right)⋮25\)

Lại có \(\left(n+2\right)\left(n+7\right)+10⋮25\)(giả sử) nên \(10⋮25\)(vô lí)

Vậy điều giả sử sai \(\Rightarrow n^2+9n+24⋮̸25\)

< = > 9n - 1 thuộc U(-15) = {-15;-5;-3;-1;1;3;5;15}

n là số nguyên < = > n = 0 

-15 chia hết cho 9n-1

=>9n-1EƯ(-15)={1;-1;3;-3;5;-5;15;-15}

=>9nE{2;0;4;-2;6;-4;16;-14}

=>n=0

Vạy n=0 thì thỏa mãn đề(n nguyên)

n=0

L I K E mình đi

=>n^2+11n-2n-22+23 chia hết cho n+11

=>\(n+11\in\left\{1;-1;23;-23\right\}\)

=>\(n\in\left\{-10;-12;12;-34\right\}\)