Từ \(x^2+2xy+7\left(x+y\right)+7y^2+10=0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+6y^2+10=0\) ( * )

\(S=x+y+1\Rightarrow x+y=S-1\)

( * ) \(\left(S-1\right)^2+7.\left(S-1\right)+6y^2+10=0\)

\(\Rightarrow S^2+5S+4=-6y^2\le0\) với mọi y \(\Rightarrow S^2+5S+4\le0\)

=> (S + 4)(S + 1)  ≤ 0 => S + 4 và S + 1 trái dấu

Giải 2 trường hợp => -4 ≤ S ≤ -1

=> GTNN của S bằng -4 khi y = 0 và x = -5

GTLN của S bằng -1 khi y = 0 và x = -2

giúp mik vs gấp lắm:<<

Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Ta có

x² + 2y² + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0

<=> (x + y)² + 2(x + y) + 1 + 5(x + y + 1) + y² + 4 = 0

<=> (x + y + 1)² + 5(x + y + 1) + y² + 4 = 0

<=> A² + 5A + y² + 4 = 0

<=> y² = - 4 - 5A - A² \(\ge0\)

<=> \(-4\le A\le-1\)

Vậy GTLN là -1, GTBN là - 4