Có a+b+c=2000 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}\)

Suy ra: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

               \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)

                \(\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)

                 \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

                   \(\left(a+b\right)\left(\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

                       \(\left(a+b\right)\left(\frac{ac+bc+c^2+ab}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

                         \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)

                          \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

  Mà a+b+c=2000

Với a+b=0 thì c=20000

Với b+c=0 thì a=2000

Với a+c=0 thì b=2000

Vậy trong 3 số a,b,c thì phải có 1 số bằng 2000

Từ giả thiết ta suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}.\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(c+a=0\)

Kết hợp giả thiết thì ta có điều phải chứng minh.

ta có 1/a+1/b+1/c=1/2000

<=>(ab+bc+ca)/abc=1/(a+b+c)

<=>(ab+bc+ca)(a+b+c)=abc

<=>(a+b)(b+c)(c+a)=0

đến đây có 3 th nhưng mik giải 1 thôi

với a+b=0=>c=2000

có j k hiểu bạn cứ hỏi tự nhiên nha

b)Ta có:  \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)

\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)

và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)

\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)

Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)

Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)

Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1

a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))

Làm khác bạn Kiệt xíu à nha:))

a

( Không dùng svác-sơ,à mà thiếu đk a,b,c>0 thì phải đó lutufine 159732486 )

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ( vì a+b+c=1 )

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}>0;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}>0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(đpcm\right)\)

b

Biến đổi Abel'  thôi nhỉ ( abel là khác nha,t thấy cách biến đổi này khá là giống với Abel nên đặt là Abel' )

\(a^{2002}+b^{2002}=\left(a^{2001}+b^{2001}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2000}+b^{2000}\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^{2002}+b^{2002}\right)-ab\left(a^{2002}+b^{2002}\right)\)

\(=\left(a^{2002}+b^{2002}\right)\left(a-ab+b\right)\)

Khử \(a^{2002}+b^{2002}\) đi ( do a,b dương ) ta có:

\(a-ab+b=1\Rightarrow a-ab+b-1=0\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=1\Rightarrow b=1\\b=1\Rightarrow a=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=1\)

Giả sử trong 2000 số nguyên dương đã cho không có 2 số nào bằng nhau

\(a_1>a_2>a_3>...>a_{2000}\ge1\)

Khi đó ta có :

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2000}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2000}=8,1783...< 12\)

( Mâu thuẫn giả thiết )

Vậy trong 2000 số nguyên dương đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau.

Đề ở đâu mà khó thế??!!!

1/a+1/b+1/c=1/200
=>\(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{c}\)\(\frac{\Leftrightarrow a+b}{ab}=\frac{c-2000}{2000c}\Rightarrow\left(c-2000\right)ab=\left(a+b\right)2000c\)

a + b   +c = 2000 => a + b = 2000 - c
________________________________________**** cho mình nhé bn Lee Min Ho
 

Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo cách làm tương tự !

khói quá

1.

Áp dụng hệ quả cô si:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^{1000}\le3^{999}\left(a^{2000}+b^{2000}+c^{2000}\right)=3^{1000}\)

=>\(a^2+b^2+c^2\le3\)Dấu = khi a=b=c=1

không biết đúng hay sai đâu

1.Ta co a²⁰⁰⁰+1+1+1+...+1 ( 999 sô 1) > =1000. \(\sqrt[1000]{a^{2000}.1.1...1}\)=a²\(\Rightarrow\)a² \(\le\)(a²⁰⁰⁰+999) :1000 (BDT cósi)

Tưong tu b²\(\le\)(b²⁰⁰⁰+999):1000                                               ;                       c²\(\le\)(c²⁰⁰⁰+999):1000

a²+b²+c²\(\le\)(a²⁰⁰⁰+b²⁰⁰⁰+c²⁰⁰⁰+999+999+999) :1000 =(3+999.3) :1000=3000:1000=3

Vay gtln cua a²+b²+c² la 3

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)