\(A=5\left(x-1\right)+\frac{180}{x-1}+5\ge2\sqrt{5\left(x-1\right).\frac{180}{x-1}}+5=60+5=65\)

cô-si là ra nhé GTNN =65 khi x=7

\(A=5x+\frac{180}{x-1}=5\left(x-1\right)+\frac{180}{x-1}+5\ge2\sqrt{5\left(x-1\right).\frac{180}{x-1}}+5\)

cách 1:A= 5x + 180/(x-1) 
=5(x-1) +180/(x-1) + 5 >= 2√(5(x-1)*180/(x-1)) +5 = 65 
( Chú ý kết hợp vs điều kiện x>1) 
Vậy A(min)= 65 
<=> 5(x-1) -180/(x-1) =0 
<=> x² - 2x -35 =0 
<=> x=7 or x=-5( KTm) 

cách 2:có 5x + 180 / (x-1) = 5(x-1) + 180 / (x-1) +5 
vì x>1 => 5(x-1)>0 ; 180/(x-1) có nghĩa và >0 
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số k âm ta có 
5(x-1) + 180/(x-1) >= 2căn2[5(x-1). 180/(x-1) ]=60 
=> 5(x-1) + 180 /(x-1) +5 >=60+5=65 
dấu = xảy ra <=> 5(x-1) = 180/(x-1) 
<=> 5 (x-1)^2 = 180 
<=>...... 
<=> x = 7( thỏa mãn đk) 
hoặc x=-5( loại ) 
vậy min <=> x = 7 
chúc bạn học tốt

a, ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}5x+25\ne0\\x\ne0\\x^2+5x\ne0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(x+5\right)\ne0\\x\ne0\\x\left(x+5\right)\ne0\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne-5\end{cases}}\)

b, \(P=\frac{x^2}{5x+25}+\frac{2x-10}{x}+\frac{50+5x}{x^2+5x}\)

\(=\frac{x^3}{5x\left(x+5\right)}+\frac{5\left(2x-10\right)\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}+\frac{\left(50+5x\right).5}{5x\left(x+5\right)}\)

\(=\frac{x^3+10\left(x-5\right)\left(x+5\right)+250+25x}{5x\left(x+5\right)}\)

\(=\frac{x^3+10x^2+25x}{5x\left(x+5\right)}=\frac{x\left(x+5\right)^2}{5x\left(x+5\right)}=\frac{x+5}{5}\)

c, \(P=-4\Rightarrow\frac{x+5}{5}=-4\Rightarrow x+5=-20\Rightarrow x=-25\)

d, \(\frac{1}{P}\in Z\Rightarrow\frac{5}{x+5}\in Z\Rightarrow5⋮\left(x+5\right)\Rightarrow x+5\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\Rightarrow x\in\left\{-10;-6;-4;0\right\}\)

Mà x khác 0 (ĐKXĐ của P) nên \(x\in\left\{-10;-6;-4\right\}\)

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}5x+25\ne0\\x\ne0\\x^2+5x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne-5\end{cases}}\)

b) \(P=\frac{x^2}{5x+25}+\frac{2x-10}{x}+\frac{50+5x}{x^2+5x}\)

\(P=\frac{x^3}{5x\left(x+5\right)}+\frac{10x^2-250}{5x\left(x+5\right)}+\frac{250+25x}{5x\left(x+5\right)}\)

\(P=\frac{x^3+10x^2+25x}{5x\left(x+5\right)}=\frac{x\left(x+5\right)^2}{5x\left(x+5\right)}=\frac{x+5}{5}\)

c) \(P=4\Leftrightarrow\frac{x+5}{5}=4\Leftrightarrow x+5=20\Leftrightarrow x=15\)

d) \(\frac{1}{P}=\frac{5}{x+5}\in Z\Leftrightarrow5⋮x+5\)

\(\Leftrightarrow x+5\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Lập bảng nhé

e) \(Q=P+\frac{x+25}{x+5}=\frac{x+30}{x+5}=1+\frac{25}{x+5}\)

\(Q_{min}\Leftrightarrow\frac{25}{x+5}_{min}\)

2, TC: \(\frac{5x^2-4x+4}{x^2}=\frac{4x^2+x^2-4x+4}{x^2}\)\(=\frac{4x^2}{x^2}+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}=4+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\)

Ta có \(\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\ge0\forall x\left(x\ne0\right)\)\(\Rightarrow4+\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2}\ge4\)

Vậy GTNN của A là 4 tại \(\frac{\left(x-2^2\right)}{x^2}=0\Rightarrow x=2\)

Sau khi rút gọn thì ta được \(A=x\left(2x+3\right)\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2x^2+3x\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2\left(x^2+2.\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}\right)-2.\frac{9}{4}\)

                                  \(\Leftrightarrow A=2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\)

Vì \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\) nên \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge\frac{-9}{2}\)

Do đó \(A=2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge\frac{-9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(x+\frac{3}{2}=0\)

                       \(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-3}{2}\)

\(VậyMinA=\frac{-9}{2}tạix=\frac{-3}{2}\)