giả sử trong ba số a, b, c không số nào là số dương. 

ta có: abc < 0 , mâu thuẫn 

do đó trong ba số a, b, c có ít nhất một số dương

bài nay nghe quen quen 

\(X+Y+Z=3\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]\)

\(=\frac{3}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Xác định trong 3 số a,b,c trong đó phải có số âm, 0, dương: 
-Giả sử a=0 thay vào CT trên ta có: 
\0\=0=b^2(b-c). 
+vì b^2 luôn dương nên (b-c) phải bằng 0 
+Nếu b dương, c âm thì (b-c)>0 không đúng. 
-Giả sử b=0 thay vào CT trên ta có: 
b^2(b-c)=-0^2(0-c)=0=> a=0 Không đúng. 
+Nếu c=0 thì \a\=b^3 
Dấu = xảy ra khi b dương vì \a\ luôn luôn dương. 
Nếu b là số âm vế phải b^3 luôn âm thì dấu bằng không xảy ra vì\a\ luôn dương. 
Vậy ta chỉ xác định được một trường hợp duy nhất: Khi a âm, b dương và c bằng 0

Hay ta có thể ;làm cách này

Vì ba số có a;b;c có 1 số âm,1 số dương,1số 0 nên ba số này phân biệt . 
+)a khác 0 vì nếu a = 0 thì vp = 0 = > hoặc b = 0 hoặc b = c 
mà b = 0 thì b = a ( vô lý) b = c cũng vô lí 
+) b khác 0 vì nếu b = 0 thì vp = 0 nên vt = 0 hay a = 0 
Vô lí vì khi đó a = b = 0 
Vậy c = 0 
ĐK trở thành \a\=b^2.b = b^3 
Vì vt > = 0 ( là biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối) 
Nên vp = b^3 > = 0 => b > = 0 
Mà b khác 0 ( vì c = 0 và b khác c) nên b > 0 
=> a < 0 
Vậy a < 0; b > 0; c = 0.

P/s chắc là đúng nhỉ?

Tham khảo:

Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1

*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)

*TH2: có 2 số lớn hơn 1

Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0

=> (a-1)(b-1)(c-1)<0 

=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0

<=>a+b+c<ab+bc+ca 

<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b 

Thay abc=1 ta được:

a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)

=>đpcm

 Trường hợp 1: Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ đều lớn hơn $1$ hoặc ba số $a$, $b$, $c$ đều nhỏ hơn $1$.

Khi đó a.b.c \ne 1
 a.b.c $\ne 1$ (trái với giả thiết).

 Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a>1$ và $b>1$.

Vì $a.b.c=1$ nên $c\; <1$ do đó:

     $(a-1).(b-1).(c-1)<0$

$\iff abc+a+b+c-ab-ac-ca-1<0$

$\iff a+b+c-ab-ac-ca<0$

$\iff a+b+c<ab+ac+ca$

$\iff$a + b + c < $\backslash (\backslash dfrac\{abc\}\{c\}\backslash )$ + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)

⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$

Này là toán lớp 7

Lớp 10 đấy