Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ABCD.
Xét :Tam giác BOC có: BC < OB + OC  (bất đẳng thức trong tam giác)
        Tam giác AOD có: AD < OD + OA  (.............................................)
Do đó: BC + AD < (OB + OD) +(OC + OA) 
hay BC + AD < BD + AC 
Mà AD = AC (GT) => BC < BD. 

Vì  △ AOD đồng dạng  △ BOC nên:  ∠ ADO =  ∠ BCO hay  ∠ EDB =  ∠ ECA

Xét  △ EDB và  △ ECA ta có:

∠ E chung

∠ (EDB) =  ∠ (ECA) (chứng minh trên)

Vậy  △ EDB đồng dạng  △ ECA(g.g)

Suy ra: ⇒ ED.EA = EC.EB

Chứng minh △ ABD ∼  △ BDC (c.c.c)

⇒  ∠ (ABD) = ∠ (BDC) ⇒ AB // CD.

Xét Δ ABD ta có :

\(AD+BD>AB\left(1\right)\)

Xét Δ ABC ta có :

\(AC+BC>AB\left(2\right)\)

\(\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow AD+BD-AC-BC>0\)

\(\Rightarrow AD-AC+BD-BC>0\)

mà \(AD=AC\) (đề bài)

\(\Rightarrow BD-BC>0\)

\(\Rightarrow BD>BC\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo

Xét tam giác BOC có: OB+OC>BC(bđttg)

      tam giác AOC có: OA+OB>AD(bđttg)

=>OA+OB+OC+OD>BC+AD

hay BD+AC>BC+AD

Mà AC=AD(gt) nên BD>BC

=>BC<BD(đpcm)

Vì  △ AOB đồng dạng  △ DOC nên:

Xét  △ AOD và  △ BOC ta có:

∠ (AOD) =  ∠ (BOC) (đối đỉnh)

Vậy  △ AOD đồng dạng  △ BOC (c.g.c)

Xét  △ AOB và  △ DOC, ta có:

∠ (ABD) =  ∠ (ACD) (gt)

Hay  ∠ (ABO) =  ∠ (OCD)

∠ (AOB) =  ∠ (DOC) (đối đỉnh)

Vậy  △ AOB đồng dạng  △ DOC (g.g)

Xét \(\Delta\)AOD ta có: AO + OD > AD (trong 1 tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Xét \(\Delta\) OCD ta có: BO + OC > BC ( trong 1 tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Cộng vế với vế ta có: AO + OD + BO + OC > AD + BC 

                                  (AO + OC) + ( OD + OB > AD + BC

                                   AC+ BD > AD + BC 

Chứng Minh tương tự ta có: AC + BD > AB + CD