cho a+b+c=0. cmr b^2 + c^2 +2bc -a^2= 4x(x - 2)
cho a,b,c>0 và \(a+b+c\le1\)
cmr \(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác Cmr a^2 - b^2 - c^2 + 2bc > 0
a^2 -b^2 -c^2 +2bc = a^2 -(b^2 +c^2 -2bc)
= a^2 -(b-c)^2
= (a-b+c)(a+b-c)
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
a+c>b và a+b>c
Suy ra: a-b+c >0 và a+b-c >0
Do đó: (a-b+c)(a+b-c) >0
Vậy a^2 - b^2 -c^2 + 2bc >0
Chúc bạn học tốt.
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR a^2 - b^2 - c^2 + 2bc > 0
\(CMR:a^2-b^2-c^2+2bc>0\)
<=>\(\left(a-b-c\right)^2+2ab-2bc+2ac+2bc>0\)
<=>\(\left(a-b-c\right)^2+2ac+2ab>0\) ,(a,b,c >0) dfcm
cho a,b,c >0 và a+b+c<= 1 cmr 1/a^2+2bc + 1/b^2+2ca +1/c^2+2ab >= 9
Cho a,b,c > 0 và a+b+c<1
CMR: 1/(a^2+2bc) +1/b^2+2ca)+1/c^2+2ab>=9
Đặt \(m=a^2+bc\);\(n=b^2+2ca\);\(p=c^2+2ab\)
Lúc đó: \(m+n+p=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2< 1\)(vì a + b + c < 1 )
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge9\)và m + n + p < 1 ; m,n,p > 0
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm:
\(m+n+p\ge3\sqrt[3]{mnp}\)
và \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{mnp}}\)
\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
Mà m + n + p < 1 nên \(\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)
hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
Cho a,b,c khác 0; a2+2bc khác 0 ;b2+2ca khác 0; c2+2ab khác 0 và a2+b2+c2=(a+b+c)2
cmr : S=a2/a2+2bc + b2/b2+2ac + c2/c2+2ab =1
M=bc/a2+2bc + ca/b2+2ac + ab/c2+2ab=1
giúp mk nha
mk cảm ơn nhiều
a2+b2+c2=(a+b+c)2<=> ab+bc+ca=0
\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
M tương tự
cho a,b,c,d khac 0 va x=2a^2 +b^2 -2cd; y= 2b^2 +c^2 - 2ad;z=2c^2+d^2-2ab;t=2d^2+a^2-2bc. CMR: trong 4 so x,y,z,t co it nhat 2 so duong
a) Cho a>0, b>0. CMR 1/a + 1/b >= 4/a+b
b) Cho x>0. CMR x+ 1/x >= 2, từ đó tìm GTNN của x+1/x
c) tìm x để biểu thức x2-4x+5 đạt GTNN
d) CMR (-x2+4x-10)/(x2+2018) <0
a, Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{(a+b)}{ab}\ge\frac{4}{(a+b)}\)
\(\Rightarrow(a+b)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow(a-b)^2\ge0(đpcm)\)
Mình để cho dấu lớn bằng để dễ hiểu nha bạn
c,Ta có : \(x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1\ge1\)
Dấu " = "xảy ra khi : \((x-2)^2=0\Rightarrow x=x-2=0\Rightarrow x=2\)
Rồi bạn tự suy ra.Mk chắc đúng không nữa nên bạn thông cảm
Còn câu b và d bạn tự làm nhé
Chúc bạn học tốt
\(a,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)(luôn đúng vì a>0,b>0)
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b
\(b,x+\frac{1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x-2+\frac{1}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)(luôn đúng)
dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi x=1
áp dụng\(x+\frac{1}{x}\ge2\)(c/m trên) =>GTNN là 2
dấu ''='' xay ra khi và chỉ khi x=1
\(c,\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1\ge1\)
=> GTNN là 1 tại x=2
\(d,\frac{-\left(x^2+4x+4+6\right)}{x^2+2018}=\frac{-\left(x+2\right)-6}{x^2+2018}< 0\)
vì -(x+2 )-6 <-6
Cho a + b + c = 2x
Chứng minh rằng 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4x ( x - a )
2bc + b2 + c2 - a2
= (b2 + 2bc + c2) - a2
= (b + c)2 - a2 (1)
mà a + b + c = 2x
=> b + c = 2x - a
Thay vào (1), ta được:
(2x - a)2 - a2 = (2x - a - a) (2x - a + a)
= 4x (x - a) (đpcm)