Cho a,b,c thõa mãn : a^3-b^2-b=b^3-c^2-c=c^3-a^2-a=1/3 .C/m : a,b,c >0 và a=b=c
1. CHo \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{b}\)(a,b ,c >0 )
CMR: \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)
2. CHo a,b,c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a2b + b2c + c2a < = 3
3. CHo a,b,c thõa mãn a + b + c = 3. CM: \(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\le1\)
4. CHo a,b,c > 0 thõa mãn a + b + c < = 3/2
CM: \(P=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge343\)
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
1. CHo 2 số x,y > 0 thõa mãn x + y = 1. TÌm giá trị nhỏ nhất của A = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+3xy\)
2. Cho a,b,c > 0 thõa mãn abc = 1. CNR: \(\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge1\)
3. Cho a,b,c > 0 thõa mãn : a +b + c \(\le\)\(\sqrt{3}\)
TÌm GTNN A = \(\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\)
2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)
Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)
\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
CHO 3 a;b;c số thõa mãn: a+b+c=0 ;-1 <a,b,c<1 .Chứng minh:a2+b2+c2<2
Cho 3 số a,b,c thõa mãn: \(0\le a\le b+1\le c+2\)và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
Vì 0 ≤ a ≤ b + 1 ≤ c + 2 nên ta có a + b+c ≤ (c+2)+ (c+2) + c
<=> 1 ≤ 3c+ 4 <=> -3 ≤ 3c <=> -1≤ c
Dấu bằng xảy ra <=> a+b+c=1 và a=b +1 =c+2 <=> a=1, b=0, c=1
=> Giá trị nhỏ nhất của c = -1
bạn kia tên giống bạn đặt câu hỏi thế
chắc đang thể hiện sự t.h.ô.n.g.m.i.n.h của mình
cho a,b,c khác 0 thõa mãn 1/a + 1/b + 1/c =3 và 2/ab - 1/c2 =9
Tính giá trị biểu thức M=(a - 3b + c)2018
3 tik đang chờ ngưới trả lời nhanh nhất
\(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
Viết lại đề như sau: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2xy-z^2=9\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-2xy+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2yz+2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=-z\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a=b=-c\)
\(M=\left(a-3b+c\right)^{2018}=\left(a-3a-a\right)^{2018}=\left(3a\right)^{2018}\)
cho a,b,c>0 thõa mãn
2(a^4+b^4+c^4)<(a^2+b^2+c^2)^2
chứng minh rằng a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
Cho a ,b ,c >0 thõa mãn a+b+c =3
a) CM a+b+c\(\ge\)ab+bc+ca
b) Tìm GTNN của M= \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
a)Từ \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) *đúng*
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự rồi cộng theo vế :
\(M\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Khi \(a=b=c=1\)
Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thõa mãn b2 = ac và c2 = bd.
CMR: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
Ta có :
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}\left(1\right)\)
\(c^2=bd\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{c^3}{d^3}=\frac{b^3}{c^3}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{abc}{bcd}=\frac{a}{d}\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(4\right)\)
Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
cho a,b,c thõa mãn a^2+b^2+c^2 =1 .chứng minh : a+b+c+ab+ac+bc<=1+√3
Ta có:\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow1\ge ab+bc+ca}\)(1)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le1+2=3\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a+b+c+ab+bc+ca\le1+\sqrt{3}\)