số lớn nhất có 4 chữ số : 9999

số bé nhất có 4 chữ số :1000

tổng các số có 4 chữ số 

\(\frac{9999.\left(9999+1\right)}{2}=49995000=11110.4.9.125.\)

mà 11110.4.9.125 đều chia hết cho 4 ;9;125

=>tổng tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4;9;125

Tổng các số có 4 chữ số S= 1000+1001+...+9999

Có (9999-1000)+1=9000 số hạng.

Giá trị của S= 1/2(9999+1000)*9000=10999*4500

mà 4500 =4*9*125

nên S chia hết cho 4; 9; 125 - ĐPCM.

Ta có: \(S=1000+1001+1002+...+9998+9999\)

       \(\Rightarrow S=\frac{\left(1000+9999\right).\left(9999-1000+1\right)}{2}\)

        \(\Rightarrow S=49495500\)

        \(\Rightarrow S=2^2.3^2.5^3.17.647\)

Vậy S chia hết cho 125,17,647

         \(\Rightarrow S=2^2.3^2.125.17.647\)

Ta có:

            S chia hết cho 17

            S chia hết cho 125

            S chia hết cho 647

=>S là BCNN của 17;125;647

17=17

125=5³

^647=647

5³.17.647=1374875

số lớn nhất có 4 chữ số : 9999

số bé nhất có 4 chữ số :1000

tổng các số có 4 chữ số 

\(\frac{9999.\left(9999+1\right)}{2}=49995000=11110.4.9.125.\)

mà 11110.4.9.125 đều chia hết cho 4 ;9;125

=>tổng tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4;9;125

bài như cc

Đầu tiên, chúng ta xét xem (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 hay không. Ta biểu diễn số m = (16a+17b)(17a+16b) dưới dạng m = 272a^2 + 528ab + 272b^2.

Vì 11 là một số nguyên tố, nên theo tính chất của phép nhân, để m là một bội số của 11, thì mỗi thành phần của m cũng phải là một bội số của 11.

Ta thấy rằng 272a^2 và 272b^2 đều chia hết cho 11, vì 272 chia hết cho 11. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng 528ab chia hết cho 11 để kết luận m là một bội số của 11.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất căn bậc hai modulo 11. Ta biết rằng căn bậc hai của 11 là 5 hoặc -5 (vì 5^2 = 25 ≡ 3 (mod 11)). Vì vậy, ta có:

(16a+17b)(17a+16b) ≡ (5a+6b)(6a+5b) (mod 11).

Mở ngoặc, ta được:

(5a+6b)(6a+5b) ≡ 30ab + 30ab ≡ 60ab ≡ 6ab (mod 11).

Vì 6 không chia hết cho 11, nên 6ab cũng không chia hết cho 11. Do đó, ta kết luận rằng 528ab không chia hết cho 11 và m là một bội số của 11.

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng m là một bội số của 121. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng m chia hết cho 121.

Một cách để chứng minh rằng m chia hết cho 121 là tìm một số tự nhiên k sao cho m = 121k. Để làm điều này, chúng ta cần tìm một số tự nhiên k sao cho (16a+17b)(17a+16b) = 121k.

Ta biểu diễn số m = (16a+17b)(17a+16b) dưới dạng m = 272a^2 + 528ab + 272b^2.

Chúng ta đã chứng minh rằng m là một bội số của 11, vậy m = 11m' với m' là một số tự nhiên.

Thay thế m vào công thức m = 272a^2 + 528ab + 272b^2, ta có:

11m' = 272a^2 + 528ab + 272b^2.

Chia cả hai vế của phương trình cho 11, ta có:

m' = 24a^2 + 48ab + 24b^2.

Như vậy, m' là một số tự nhiên. Điều này cho thấy rằng m chia hết cho 121 và m là một bội số của 121.

Để tính tổng này, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một dãy số từ một số đến một số khác. Công thức này là:

Tổng = (Số lượng số trong dãy) * (Tổng của số đầu tiên và số cuối cùng) / 2,

trong đó, Số lượng số trong dãy = (Số cuối cùng - Số đầu tiên) + 1.

Áp dụng công thức này vào bài toán, ta có:

Số đầu tiên = 10, Số cuối cùng = 99, Số lượng số trong dãy = (99 - 10) + 1 = 90.

Tổng = 90 * (10 + 99) / 2 = 90 * 109 / 2 = 90 * 54,5 = 4.905.

Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5 là 4.905.