A=\(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) với \(a\in Z\)
Chứng minh rằng tổng A luôn luôn là 1 số nguyên
Với a là số nguyên chứng minh rằng tổng :
\(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) là một số nguyên.
Với a là số nguyên chứng minh rằng tổng :
\(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) là một số nguyên.
giúp mình với
Đặt A= \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)
=> A= \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)
\(=\frac{2a}{6}+\frac{3a^2}{6}+\frac{a^3}{6}\)
\(=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)
\(=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\)
Để A nhận giá trị nguyên => a(a+1)(a+2) phải chia hết cho 6.
mà a(a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiếp nên a(a+1)(a+2) chia hết cho 6.
Vậy với a là một số nguyên thì \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) luôn luôn nhận giá trị nguyên (Đpcm)
Mình giải đầu tiên đó!!
Chứng minh rằng với mọi a, b thuôc R luôn có :
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)
ta sẽ chứng minh với mọi x,y luôn có \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\)(*)
thật vậy, (*) tương đương với \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\), luôn đúng
khi đó áp dụng (*) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)(đpcm)
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)lớn hơn \(\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Giải giúp mình: Chứng minh rằng \(\frac{a^3}{6}+\frac{a^2}{3}+\frac{a}{2}\) là số nguyên với mọi a thuộc Z
Với a=2 thì biểu thức đó = 8/6 + 4/3 + 1 = 16/6 + 1 không là số nguyên nhé.
1. Cho a, b, c, d, p, q là 5 số dương tùy ý . Chứng minh
\(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge\frac{3}{p+q}\)
2. Cho a, b, c là ba số dương cho trước, còn x, y, z là ba số dương thay đổi, luôn luôn thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\)
Tìm GTLN của tổng S = x + y + z
dcv_new
\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)
2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)
vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
À nhầm đề 1 tí . Sửa thành a, b, c , p , q
Đánh máy nhanh quá nên nhầm xíu =)
a,Chứng minh rằng (a+1) (a+2)=a2+3a+2
b,Chứng minh rằng \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)là số nguyên,biết a là số nguyên.
a) Biến Đổi vế phải ta có :
a^2 + 3a + 2 = a^2 + 2a + a + 2
= a ( a+ 2 ) +a + 2
= ( a+ 1 )(a+ 2 )
Vậy VT = VP đẳng thức được chứng minh
Cho đơn thức:
\(A=3.\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)x^2y^4z^6\) với a là hằng số khác 0 0
a. Chứng tỏ rằng A luôn luôn không âm với mọi x,y,z
b. Với giá trị nào của x,y,z thì A=0