cho x , y ,z > 0 và x + y + z < hoặc bằng 3 / 2
tìm gtnn của A = x + y + z +\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3
Tìm GTNN Q = x+1\(\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
Câu hỏi của s2 Lắc Lư s2 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho x,y,z >0 và x + y + z = 3
Tìm GTNN của P= \(\frac{x^2}{1+2y^3}+\frac{y^2}{1+z^3}+\frac{z^2}{1+x^3}\)
đề trên có chút sai nhé các bạn P =\(\frac{x^2}{1+2y^3}+\frac{y^2}{1+2z^3}+\frac{z^2}{1+2x^3}\)
Cho x;y;z>0 và x+y+z\(\le\frac{3}{2}\)Tìm GTNN của A=x+y+z+\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)
\(A=\left(x+y+z+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{4y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{4z}}+\frac{3}{4}\left(\frac{9}{x+y+z}\right)\)
\(\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
Vậy min A = 15/2 tại x = y = z = 1/2
Lời giải của em ạ :D
\(A=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(t=x+y+z\le\frac{3}{2}\)
Khi đó \(A=t+\frac{9}{t}=\left(t+\frac{9}{4t}\right)+\frac{27}{4t}\ge3+\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/2
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn 0<x,y,z\(\le\)1 và x+y+z=2
Tìm GTNN của A=\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)
\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)
\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)
1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1
Tìm GTNN của P= x-1/y2 +y-1/x2 + x-1/x2
Giải
Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1
Theo AM-GM ta có:
P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1
Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3
P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!
Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ngắn hơn nhiều
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{\left(x-1+y-1+z-1\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}..\)
Cho x y z > 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\). Tìm GTNN của \(P=x+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}\)
:))
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Leftrightarrow xy+yz+xz=3xyz\)
\(\Rightarrow3xyz=xy+yz+xy\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow x^3y^3z^3\ge x^2y^2z^2\Leftrightarrow\left(x^2y^2z^2\right)\left(xyz-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge1\left(x^2y^2z^2>0\right)\)
\(\Rightarrow P=x+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}\)
\(=\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^3}{6}\)
\(\ge11\sqrt[11]{\frac{x^6y^6z^6}{6^{11}}}\ge\frac{11}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
cho x,y>0 và x+y=1 . tìm GTNN, GTLN của A=\(\frac{x}{y+1}\)+\(\frac{y}{x+1}\)
cho x,y,z >0 và xyz=1 tìm GTNN của A=\(\frac{x^2}{1+y}\)+\(\frac{y^2}{1+z}\)+\(\frac{z^2}{1+x}\)
cho x,y,z>0. x+y+z=3 TÌm GTNN của A=\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{18}{x+y+z+3}=3\)
\(x^2+y^2+z^2=3\),, \(x,y,z>0\)
Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
a, Cho x,y,z >0 thỏa điều kiện x+y+z=3. Tìm GTNN của A=\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\)
b, cho x >1 , y>1. Tìm GTNN của A=\(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)