Phương trình tương đương với:

\(6x+6y+48=9xy\)\(\Leftrightarrow9xy-6x-6y=48\)\(\Leftrightarrow9xy-6x-6y+4=52\)\(\Leftrightarrow3x\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)=52\)\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(3y-2\right)=52.\)

Do \(x,y\inℕ^∗\)nên \(3x-2;3y-2\ge1\). Do đó 3x - 2 và 3y - 2 là các ước nguyên dương của 52 gồm 1;4;13;52.

Do \(x,y\inℕ^∗\)nên 3x - 2; 3y - 2 chia 3 dư 1. Do vai trò của x và y như nhau nên giả sử x \(\le\)y, ta có 2 trường hợp sau:

Đảo vai trò của x và y cho nhau ta có 4 cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn đề bài: (1;18),(18;1),(2;5),(5;2).

ai giúp em bài1 và phần b bài 2 với ạ

bài 1

Ta có 2xy+x+y=83

<=>4xy+2x+2y=166

2x*(2y+1)+(2y+1)=167

(2x+1)*(2y+1)=167

=>2x+1;2y+1 thuộc Ư(167)

do x,y nguyên dương =>2TH

TH1 2x+1=1;2y+1=167=>x=...;y=....

TH2 2x+1=167;2y+1=1=>x=...;y=....

\(\Leftrightarrow3x\left(y+2\right)+y+2-54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(y+2\right)=54\)

Mặt khác ta có \(3x+1\) luôn chia 3 dư 1, mà 54 có đúng 1 ước dương chia 3 dư 1 là 1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+1=1\\y+2=54\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=52\end{matrix}\right.\) (ktm x;y nguyên dương)

Do đó pt đã cho ko có nghiệm nguyên dương

\(x^2+3xy+y^2=x^2y^2^{^{\left(1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2y^2-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy-1\right)\)

Vì xy(xy-1) là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phương 

=> xy=0 hoặc xy-1 =0 

+) Nếu xy=0 thay vào (1) ta có 

\(x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\)

+)Nếu xy-1 =0 hay xy=1 ta có 

\(x^2+y^2+3=1\Leftrightarrow x^2+y^2=-2\left(loại\right)\)

Vậy x=0 ; y=0

Đoạn số chính phương rồi suy ra xy mình chưa hiểu lắm,bạn gthich tí dc 0

\(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0\) \(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \left(\right. y^{2} - 1 \left.\right) - 3 x y - y^{2} = 0\)

\(1 + 3 \cdot 1 \cdot y + y^{2} = 1 \cdot y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 1 + 3 y + y^{2} = y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y + 1 = 0\)

\(4 + 3 \cdot 2 \cdot y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 + 6 y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y^{2} - 6 y - 4 = 0\)

\(9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 y^{2} - 9 y - 9 = 0\)

\(x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = - \frac{1}{3}\)

❌ Không nguyên dương

\(x^{2} + 6 x + 4 = 4 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x^{2} - 6 x - 4 = 0\)

\(x^{2} + 9 x + 9 = 9 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 x^{2} - 9 x - 9 = 0\)

\(x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + 3 x y + y^{2} \left.\right) = x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y \left.\right) - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y - 3 \left.\right) - x^{2} - y^{2}\)

✅ Kết luận: phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Theo đề: \(p=x^3+y^3-3xy+1=\left(x+y\right)^3+1-3xy\left(x+y\right)-3xy\)

\(=\left(x+y+1\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1\right]-3xy\left(x+y+1\right)\)

\(=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)

Vậy \(\left(x+y+1\right)\)và \(\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)là các ước của p, mà p là số nguyên tố nên 1 trong 2 ước trên phải bằng 1 và ước còn lại bằng chính p

+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=1\Leftrightarrow x=-y\\x^2+y^2-x-y-xy+1=p\end{cases}}\)---> Loại, vì x,y nguyên dương nên x không thể bằng -y.

+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=p\Leftrightarrow x+y=p-1\\x^2+y^2-x-y-xy+1=1\end{cases}}\)---> Xét vế dưới:

\(x^2+y^2-x-y-xy=0\)---> Áp dụng 1 số BĐT đơn giản:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)và \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow-xy\ge-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

Suy ra: \(x^2+y^2-x-y-xy\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\left(x+y\right)-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow0\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\Leftrightarrow0\le x+y\le4\Rightarrow0\le p-1\le4\Leftrightarrow1\le p\le5\)

Vậy số nguyên tố p lớn nhất thỏa mãn đề bài là p = 5

Khi đó x = y = 2.

Câu hỏi của Tiểu thư họ Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath