Cho HCN ABCD có M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,BC. Gọi E là 1 điểm bất kì thuộc tia đối của DC, K là giao điểm của EM và AC. CMR: NM là tia phân giác của KNE
Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,BC. E là 1 điểm bất kì thuộc tia đối của DC, K là giao điểm của EM và AC. CMR: NM là phân giác của góc KNE
Cho hcn ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Lấy điểm E bất kì trên tia đối của DC. Gọi K là giao điểm của EM và AC. CM: MN là phân giác của KNE
Bài làm
Trên tia KN, kẻ tia đối của tia KN cắt AD tại I.
Gọi giao điểm của NE và AD là H
Xét tứ giác ABCD vuông tại A có: ( Vì ABCD là hcn )
M là trung điểm AD
N là trung điểm BC
=> MN là đường trung bình.
=> MN // AB // DC ( tính chất đường trung bình của một hình tứ giác )
Mà \(AB\perp AD\)
\(CD\perp AD\)
=> \(MN\perp AD\)
Xét tam giác INH có:
MN | AD
M là trung điểm của AD
=> MN là đường trung trực của tam giác INH
=> IN = IH ( tính chất đường trung trực )
=> Tam giác INH là tam giác cân.
Mà MN là đường cao của \(\widehat{INH}\)
hay MN là đường cao của \(\widehat{KNE}\)
=> MN là đường phân giác của \(\widehat{KNE}\) ( đpcm )
# Học tốt #
Hình chữ nhật ABCD có M,N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là 1 điểm bất kì thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. CMR: NM là tia phân giác của góc KNE
Cho hình chữ nhật ABCD. M và N là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối của tia DC lấy 1 điểm P bất kì, gọi Q là giao điểm của PM và AC
CMR: MN là tia phân giác của góc QNP
Hình chữ nhật ABCD có M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,BC.Gọi E là một điểm bất kì thuộc tia đối của tia CD,K là giao điểm của EM và AC.Chứng minh rằng NM là tia phân giác của góc KNE.
Gọi giao điểm của AC và MN là Q
Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD cắt KN tại F
Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
mà \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)
và \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
nên AM=MD=BN=NC
Xét ΔAQM có
\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(1)
Xét ΔQNC có
\(\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}\)
mà \(\widehat{AQM}=\widehat{NQC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)
nên \(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)
Xét ΔAMQ và ΔCNQ có
\(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)(cmt)
AM=NC(cmt)
\(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)
Do đó: ΔAMQ=ΔCNQ(g-c-g)
⇒MQ=QN(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)
⇒ABCD cũng là hình thang có hai đáy là AB và CD
Xét hình thang ABCD(AB//CD) có
M là trung điểm của AD(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD)
⇒MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)(định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: FQ//AD(theo cách vẽ)
AD⊥AB(ABCD là hình chữ nhật)
Do đó: FQ⊥AB(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: MN//AB(cmt)
FQ⊥AB(cmt)
Do đó: FQ⊥MN(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: QM=QN(cmt)
mà M,Q,N thẳng hàng(do \(FQ\cap MN=\left\{O\right\}\))
nên Q là trung điểm của MN
Xét ΔFMN có
FQ là đường trung tuyến ứng với cạnh MN(do Q là trung điểm của FN)
FQ là đường cao ứng với cạnh MN(FQ⊥MN)
Do đó: ΔFMN cân tại F(định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{FMQ}=\widehat{FNQ}\)(a)
Xét ΔQPC có ME//PC(MN//DC,E∈MN,P∈DC)
nên \(\frac{QM}{MP}=\frac{QE}{EC}\)(định lí Talet)(3)
Xét ΔQNC có EF//NC(do EF//BC,N∈BC)
nên \(\frac{QE}{EC}=\frac{QF}{FN}\)(định lí Talet)(4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)
Xét ΔQPN có
\(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)(cmt)
nên MF//PN(định lí Talet đảo)
⇒\(\widehat{FMN}=\widehat{MNE}\)(hai góc so le trong)(b)
Từ (a) và (b) suy ra \(\widehat{FNM}=\widehat{MNE}\)
mà tia NM nẳm giữa tia NK,NE
nên NM là tia phân giác của \(\widehat{KNE}\)(đpcm)
phải là tia DC mới được nhé bạn
Hình vẽ đây nhé:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên BC lấy M, trên tia đối của tia DC lấy N sao cho BM = DN. Vẽ AH vuông góc với NM ( H thuộc NM), AH cắt DC tại E. Gọi G là giao điểm của MN với AD
a, CMR tam giác NAM vuông cân bà D, H, B thẳng hàng
b, Tính chu vi tam giác EMC theo a
c, Gọi I là giao điểm của BD với AM, gọi K là giao điểm của EG với AN. CMR: tứ giác AIEK là hình vuông
Bài 1:Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE,BE,AC,BD. CM: MNPQ là hình thang.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D và trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD=AE. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BE,AD,AC và AB. CMR:
a) BCDE là hình thang cân.
b) CNEQ là hình thang.
c) MNP là tam giác đều.
2.
Câu hỏi của Phan thanh hằng - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Bài 1: Tứ giác ABCD có AD=BC. Gọi E F theo thứ tự là trung điểm của AB CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC. Gọi H G theo thứ tự là giao điểm của EF với OD và OC. Chứng minh rằng OG=OH
Bài 2: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AM=AN. Gọi K là giao điểm của CA và NB. Chứng minh rằng NK=1/2KB
1, Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH, đường vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BI tại D. chứng minh AD=DC?
2,Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của 2 đường chéo. Từ một điểm I bất kì trên đường chéo BD ta vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng này cắt các cạnh AB,BC tại P, Q và cắt các tia DA, DC tại S, R.chứng minh:
a, =
B, =*
c, =
3, cho hình thang ABCD (AB//CD) có M là giao điểm của AD và BC, N là giao điểm hai đường chéo. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với AB, CD. Chứng minh I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CD
4, cho tam giác ABC có AB<AC, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AB. gọi O, G theo thứ tự là giao điểm của BE với AD, AM.
a, chứng minh DG//AB
b, gọi I là giao điểm của MO với DG. chứng minh DG=IG
5, cho tam giác ABC có AB=5 cm, AC=7 cm, đường trung tuyến AM. lấy điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho AE=AF= 3 cm. gọi I là giao điểm của EF và AM .chứng minh I là trung điểm của AM
Câu 3:
Xét ΔMDC có AB//CD
nên MA/MD=MB/MC(1)
Xét ΔMDK có AI//DK
nên AI/DK=MA/MD(2)
Xét ΔMKC có IB//KC
nên IB/KC=MB/MC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK
Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC
Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK
=>AI/KC=IB/DK
mà AI/DK=IB/KC
nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)
=>AI=IB
=>I là trung điểm của AB
AI/DK=BI/KC
mà AI=BI
nên DK=KC
hay K là trung điểm của CD