Xét các trường hợp chẵn

-   n chẵn thì A chia hết cho 2

-  n lẽ đặt n = 2k + 1 k ∈   N *   .

Ta có   

A phân tích được tích của 2 thừa số vậy A là hợp số .

Nếu n chẵn thì cái tổng chia hết cho 2

Nếu n lẻ thì

Phân tích nhân tử

Ta có : \(n^4+4^n=\left(n^2\right)^2+\left(2^n\right)^2+2n^2+2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-n^2+2^{n+1}=\left(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\left(n^2+2^n+n.2^{\frac{n+1}{2}}\right)\)

Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được

Tức là ta chứng minh \(n^2+2^n-n.2^{\frac{n+1}{2}}\ge1\)

Tương đương với \(n^2+2^{n+1}-2n.2^{\frac{n+1}{2}}+n^2\ge2\) ( nhân 2 cho 2 vế )

\(BĐT\Rightarrow\left(n-2^{\frac{n+1}{2}}\right)^2+n^2\ge2\)đúng với n lẻ và n ≥ 3 

Vậy, ta có điều phải chứng minh 

bạn à 4n không phải n^4

Gọi UCLN(3n+1,4n+1) = d

Ta có: 3n + 1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 chia hết cho d

           4n+1 chia hết cho d => 3(4n+1) chia hết cho d => 12n+3 chia hết cho d

=> 12n+4 - (12n+3) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1

Vậy 3n+1/4n+1 là p/s tối giản

Với mọi số nguyên dương n. Ta có: 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2=16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5

Vì 16ⁿ có số tận cùng là 6;  =>16ⁿ.2 có  số tận cùng là 2

81ⁿ có số tận cùng là 1

=> 16ⁿ.2+81ⁿ+2 có số tận cùng là 5 mà 16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5 suy ra 16ⁿ.2+81ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2là hợp số với mọi số nguyên dương n