1/

$10n+4\vdots 2n+7$

$\Rightarrow 5(2n+7)-31\vdots 2n+7$

$\Rightarrow 31\vdots 2n+7$

$\Rightarrow 2n+7\in Ư(31)$

$\Rightarrow 2n+7\in \left\{1; -1; 31; -31\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{-3; -4; 12; -19\right\}$

2/

$5n-4\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 3(5n-4)\vdots 3n+1$

$\Rightarroq 15n-12\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 5(3n+1)-17\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 17\vdots 3n+1$

$\Rightarrow 3n+1\in Ư(17)$

$\Rightarrow 3n+1\in \left\{1; -1; 17; -17\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; \frac{-2}{3}; \frac{16}{3}; -6\right\}$

Do $n$ nguyên nên $n\in\left\{0; -6\right\}$

3/

$2n^2+n-6\vdots 2n+1$

$\Rightarrow n(2n+1)-6\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 6\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 2n+1\in Ư(6)$

Mà $2n+1$ lẻ nên: $2n+1\in \left\{1; -1; 3; -3\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; -1; 1; -2\right\}$

a: \(\Leftrightarrow2n^2+n-2n-1+3⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-1;1;-2\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow2n^2-4n+5n-10+3⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{3;1;5;-1\right\}\)

c: \(\Leftrightarrow10n^2-15n+8n-12+7⋮2n-3\)

\(\Leftrightarrow2n-3\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;1;5;-2\right\}\)

d: \(\Leftrightarrow2n^2-n+4n-2+5⋮2n-1\)

\(\Leftrightarrow2n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)

a) ta có :   n+6 chia hết n-1

         <=> n-1+7 chia hết cho n-1

mà n-1 chia hết cho n-1 

=> 7 chia hết cho n-1

n-1= Ư(7) = { -1 ; -7 ;1;7)

=> n = {0 ; -6 ; 2 ; 8

b)  2n + 15 chia hết cho n+5 

<=> 2n + 10 + 5 chia hết cho n+5

<=> 2(n+5) + 5 chia hết n+5

mà 2(n+5) chia hết  n+5

=> n+5 = Ư(5) = { -5 ; -1 ; 1; 5 )

=> n= {-10 ; -6 ; -4 ; 0}

c)  10n + 23 chia hết 2n +1

<=> 10n +5 + 18 chia hết 2n+1

<=> 5(2n+1) + 18 chia hết 2n+1

mà 5(2n+1) chia hết cho 2n+1

=> 2n +1 = Ư(18) = { ....}

=> n = ....

d) 20 chia hết 2n+1

=> 2n+1 = Ư(20) = {....}

=> n={...}

e) tương tự d)

f ) 2n+3 là ước của 10 

mà  Ư(10) = { -10;-5;-2;-1;1;2;5;10}Ư

=> n = {...}

g) n(n+1) = 6

Ta có : 6 = 2 . 3 

=> n = 2 

( câu c;d;f tự tính mấy cái .... nha , tương tự câu a;b thôi )

Cảm ơn nha nhưng cho mình hỏi ở câu c. Tại sao: 10n lại chuyển thành 5(2n+1)

10n + 23  : phân tích 23 ra thành 5+18

<=> 10n + 23 = 10n + 5 + 18

ghép 10n + 5 lại

( 10n + 5 ) + 18  <=>  5(2n+1) + 18  

( 10n + 5  = 5 ( 2n+1)  )

1) Đặt  2n + 1,10n + 7 = d
⇒2n + 1⋮d⇒5 2n + 1 ⋮d⇒10n + 5⋮d
⇒ 10n + 7 − 10n + 5 ⋮d
⇒ 10n + 7 − 10n − 5 ⋮d
⇒2⋮d
⇒d ∈ 1;2
Do 2n + 1 là số lẻ
⇒d = 1
Vậy  2n + 1,10n + 7 = 1
hay 2n + 1 và 10n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau
 

Gọi d là ƯCLN(2n+1;10n+6)

=>2n+1):d và 10n+6 ):d.    < (:dấu chia hết nha>

=>5.2n+5.1 (:d

=>10n+6-10n-5 (:d

=>1 (:d

=>d=1

Vậy Ư CLN(2n+1;10n+6)=1

Vậy 2n+1 và 10n+6  là 2 số nguyên tố cùng nhau.

đáp án

Gọi d là ƯCLN(2n+1;10n+6)

=>2n+1):d và 10n+6 ):d.    < (:dấu chia hết nha>

=>5.2n+5.1 (:d

=>10n+6-10n-5 (:d

=>1 (:d

=>d=1

Vậy Ư CLN(2n+1;10n+6)=1

Vậy 2n+1 và 10n+6  là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Em con quá non

Sử dụng: 

\(A^3+B^3+C^3-3ABC=\left(A+B+C\right)\left(A^2+B^2+C^2-AB-BC-AC\right)\) (1)

Áp dụng vào bài:

\(\left(a-1\right)^3+\left(b-2\right)^3+\left(c-3\right)^3-3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)\)

\(=\left(a-1+b-2+c-3\right)\)[ \(\left(a-1\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-3\right)^2\)

\(+\left(a-1\right)\left(b-2\right)+\left(a-1\right)\left(c-3\right)+\left(b-2\right)\left(c-3\right)\)]

<=> \(0-3\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)

( vì \(a-1+b-2+c-3=a+b+c-6=6-6=0\))

<=> \(\left(a-1\right)\left(b-2\right)\left(c-3\right)=0\)

<=>  a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 3.

Không mất tính tổng quát: g/s : a = 1

Khi đó: b + c =5

Ta có:  \(T=\left(b-2\right)^{2n+1}+\left(c-3\right)^{2n+1}\)

\(=\left(b-2+c-3\right).A\)

\(=\left(b+c-5\right).A\)

\(=0.A=0\)

Với \(A=\left(b-2\right)^{2n}-\left(b-2\right)^{2n-1}\left(c-3\right)+\left(b-2\right)^{2n-2}\left(c-3\right)^2-...+\left(c-3\right)^{2n}\)

Tương tự b = 2; c= 3 thì T = 0.

Vậy T = 0.