Cho tứ giác ABCD có AB= AD, CD = CB và tổng số đo hai góc đối diện tại các đỉnh A, C bằng 90*. Gọi I, K lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và CBD. CMR: I, K, B , D cùng thuộc 1 đường tròn
Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB = 2a, BC = CD = DA = a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A. Gọi S là một điểm duy nhất thay đổi trên d. (P) là một mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại I và cắt SC, SD lần lượt tại J, K.
a) Chứng minh tứ giác BCJI, AIJK là các tứ giác nội tiếp.
b) Gọi O là trung điểm của AB, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCJI. Chứng minh rằng OO' ⊥ (SBC).
c) Chứng minh rằng khi S thay đổi trên d thì JK luôn luôn đi qua một điểm cố định.
d) Tìm một điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K và tìm khoảng cách đó.
e) Gọi M là giao điểm của JK và (ABCD). Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
f) Khi S thay đổi trên d, các điểm I, J, K lần lượt chạy trên đường nào.
Nhận xét
Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.
Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.
a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC
BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)
Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.
Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))
AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)
Lý luận tương tự, ta có:
BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))
AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)
Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).
b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ
Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ
Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)
c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.
Gọi M = JK ∩ CD
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)
SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)
Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.
Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.
d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI
ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).
ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).
Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.
e) Theo chứng minh câu c.
f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).
Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).
Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).
Cho tam giác ABC có đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính BC. Gọi E,D lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB, AC.
a/ CMR: tứ giác ADHE là hình chữ nhật
b/ Chứng minh AB.AE=AD.AC
c/ Gọi I,J lần lượt k là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH,BEH.Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn (i) và (J) và (O)
d/ CMR: ID là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH.
Câu 4(3,0đ). Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ ngoại tiếp đường tròn (I;r). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm trên BC, AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AEIF là hình vuông.
b) Gọi M, N thứ tự là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD. Chứng
minh tứ giác AMDN nội tiếp.
c ) gọi S là diện tích của tam giác ABC . Chứng minh \(\sqrt{2S}\) -r ≤ \(\dfrac{BC}{2}\)
Mọi người giúp em phần c với ạ em cảm ơn mọi người nhiều
a: góc A=góc IFA=góc IEA=90 độ
=>AEIF là hcn
mà IF=IE
nên AEIF là hv
b: ΔABD vuông tại D
=>M là trung đuiểm của AB
ΔACD vuông tại D
=>N là trung điểm của AC
Xét ΔNAM và ΔNDM có
NA=ND
MA=MD
NM chung
=>ΔNAM=ΔNDM
=>góc NDM=góc NAM=90 độ
=>AMDN nội tiếp
Bài 4. Cho tam giác ABC với trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh rằng tam giác MON đồng dạng AHB. Từ đó chứng minh H, G, O thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài các tam giác ABF và ACE lần lượt vuông tại B, C và đồng dạng với nhau. BE giao CF tại K. Chứng minh rằng AK ⊥ BC.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I thỏa mãn tam giác AID đòng dạng tam giác BIC. Kẻ IH ⊥ AD, IK ⊥ BC. M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Chứng minh rằng MN ⊥ HK.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác AOD, BOC. Chứng minh rằng MN ⊥ HK.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF . M thuộc tia DF , N thuộc tia DE sao cho ∠M AN = ∠BAC. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp góc D của tam giác DMN .
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = BD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác cân đồng dạng AMB và CND (cân tại M, N ). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng M N vuông góc với PQ.
Bài 10. Cho tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF . Trên AB, AC lấy các điểm K, L sao cho ∠FDK = ∠EDL = 90◦. Gọi M là trung điểm KL. Chứng minh rằng AM ⊥ EF .
Mong các bạn giúp đỡ mình. Giúp được bài nào thì giúp nhé.
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
Cho tam giác ABC điểm D thuộc cạnh BC . Gọi M,E,N theo thứ tự là trung điểm AB, AD, AC. Đường vuông góc AB tại M và đường vuông góc AC tại N cắt nhau tại O. Đường vuông góc AD tại E cắt OM,ON tại I,K.
a, Các điểm O,I,K theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác nào?
b, CMR A,I,O,K thuộc cùng 1 đường tròn
Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB. Các điểm C và D bất kì thuộc cung AB sao cho số đo cung CD bằng 90 độ (C thuộc cung AD).Gọi E là giao điểm của AC và BD,K là giao điểm của AD và BC.
a) Tính số đo góc CED
b) Chứng minh tứ giác ECKD nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn đó
c) Chứng minh rằng OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECKD
d) Chứng minh rằng tổng AK.AC + BK.BC không phụ thuộc vào vị trí của 2 điểm C và D
Mình cần câu d) gấp lắm...
Một số bài toán hay về tâm nội tiếp:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), hai điểm K,L di chuyển trên (O) (K thuộc cung AB không chứa C, L thuộc cung AC không chứa B) thỏa mãn KL song song với BC. Gọi U và V lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác AKB,ALC. Chứng minh rằng tâm của (UAV) thuộc đường thẳng cố định.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC. AC cắt BD tại I. Gọi S,T là tâm nội tiếp các tam giác AID,BIC. M,N là trung điểm các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng MN chia đôi ST.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Kẻ DH vuông góc EF tại H, G là trung điểm DH. Gọi K là trực tâm tam giác BIC. Chứng minh rằng GK chia đôi EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Gọi AI cắt DE,DF tại K,L; H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng bốn điểm H,K,L,M cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên (Euler) của tam giác ABC.
chị gisp em bài này
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1. Tính số đo góc BIF
1. Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.
Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có
O B chung OBD=OBF(gt) = > Δ O B D = Δ O B F (cạnh huyền–góc nhọn)
⇒ BD = BF
Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.
Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K. D O E = 90 o
Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:
D F E = 1 2 D O E = 45 o
⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.
=>BIF=45o
Cho hình bình hành ABCD có góc A < 90. Tia phân giác góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. đường thẳng d cắt CB,CD lần lượt tại M,N.
a) CMR: góc OBM = góc ODC
b) CMR: 2 tam giác OBM =ODC
C) Gọi K là giao điểm OC , BD. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. CMR: ND/MB = IB2-IK2/KD2
a. Ta thấy ngay BCDO là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{MBO}=\widehat{ODC}\) (Góc ngoài tại đỉnh đổi)
b. Xét tam giác CMN có CO là đường cao đồng thời phân giác, vậy nó là tam giác cân. Từ đó suy ra \(\widehat{CMA}=\widehat{CNA}\)
Do ABCD là hình bình hành nên \(\widehat{CNA}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\Rightarrow BM=BA=DC\left(1\right)\)
Xét trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC có \(\widehat{BCO}=\widehat{DCO}\Rightarrow BO=OD\left(2\right)\)
Theo câu a, \(\widehat{MBO}=\widehat{ODC}\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\Delta OBM=\Delta ODC\left(g-c-g\right)\)