Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);
b) F(x) = esinx và f(x) = ecosx trên ℝ.
Họ các nguyên hàm F(x) của hàm số f x = xlnx trên khoảng 0 ; + ∞ là
A. 1 2 x 2 lnx + 1 4 x 2 + C
B. 1 2 x 2 lnx + 1 2 x 2 + C
C. 1 2 x 2 lnx − 1 4 x 2 + C
D. 1 2 x 2 lnx − 1 2 x 2 + C
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 cos x - 1 sin 2 x trên khoảng 0 ; π . Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng 0 ; π là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau
(I). Nếu f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số f đồng biến trên I.
(II). Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số f nghịch biến trên I.
(III). Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.
(IV). Nếu f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ I và f’(x) = 0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến trên khoảng I.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. I và II đúng, còn III và IV sai
B. I, II và III đúng, còn IV sai
C. I, II và IV đúng, còn III sai
D. Cả I, II, III và IV đúng
Cho hàm số có f đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau:
(I). Nếu , thì hàm f '(x) < 0 "x ∈ I số nghịch biến trên I
(II). Nếu , f '(x) ≤ 0 "x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số nghịch biến trên I
(III). Nếu , thì hàm f '( x) ≤ 0 "x ∈ I số nghịch biến trên khoảng I
(IV). Nếu , f '(x) ≤ 0 "x ∈ I và f '(x) = 0 tại vô số điểm trên thì hàm I số không f thể nghịch biến trên khoảng I
Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. I, II và IV đúng, còn III sai.
B. I, II, III và IV đúng.
C. I và II đúng, còn III và IV sai.
D. I, II và III đúng, còn IV sai.
Đáp án là C
Câu III sai vì thiếu dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I
Câu IV sai vì có thể vô số điểm trên I xuất hiện rời rạc thì vẫn có thể nghịch biến trên khoảng I
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R thoả f( 2) = f( -2) =0 và đồ thị của hàm số y= f’ (x) có dạng như hình bên. Hàm số y= (f( x)) 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. - 1 ; 3 2
B. (-1; 1)
C. (-2; -1)
D. (1; 2)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: f’(x) = 0 khi và chỉ khi x= 1;
Ta có bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) < 0 với mọi x≠ ± 2
Xét hàm số y= ( f( x) ) 2 có đạo hàm y’ = 2f(x). f’ (x)
Bảng xét dấu:
Chọn D.
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f(-1)= f(3)= 0 và đồ thị hàm số y=f' (x) có dạng như hình vẽ. Hàm số y= [ f ( x ) ] 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (-2;1).
B. (1;2).
C. (0;4).
D. (-2;2).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f '(x) được cho như hình bên và các mệnh đề sau:
(1). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-1;0)
(2). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1;2)
(3). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (3;5)
(4). Hàm số y = f(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Số mệnh đề đúng là
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số f '(x) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt x 1 - 1 ; 0 , x 2 0 ; 1 , x 3 2 ; 3
Và f '(x) đổi dấu từ - → + khi đi qua x 1 , x 3 ⇒ Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng - 1 ; x 1 đồng biến trên x 1 ; x 2 (1) sai
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng x 2 ; x 3 (chứa khoảng (1;2)), đồng biến trên khoảng x 3 ; 5 (chứa khoảng (3;5)) ⇒ 2 ; 3 đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x = 2 cos x − 1 sin 2 x trên khoảng 0 ; π Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng 0 ; π là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. F π 6 = 3 3 − 4
B. F 2 π 3 = 3 2
C. F π 3 = − 3
D. F 5 π 6 = 3 − 3
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f’(x) và các khẳng định sau:
(1). Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng 1 ; + ∞
(2). Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng - ∞ ; - 2
(3). Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng - 2 ; 1 .
(4). Hàm số y = f x 2 đồng biến trên khoảng - 1 ; 0
(5). Hàm số y = f x 2 nghịch biến trên khoảng (1;2)
Số khẳng định đúng là
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng a ; b . Xét các mệnh đề sau:
I. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng a ; b thì f ' x > 0 , ∀ x ∈ a ; b .
II. Nếu f ' x < 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng a ; b .
III. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên a ; b và f ' x > 0 , ∀ x ∈ a ; b thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn a ; b .
Số mệnh đề đúng là:
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Đáp án là C
I.Sai ví dụ hàm số y = x 3 đồng biến trên
(−¥; +¥) nhưng y' ³ 0, "x Î (−¥; +¥)
II.Đúng
III.Đúng