ai giúp mình cho

Ta có:\(n^2+\left(n+1\right)^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1>2n^2+2n=2n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)

Áp dụng vào bài toán,ta có:

\(\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{3^2+4^2}+......+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}\)

\(< \frac{1}{2\cdot1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+.....+\frac{1}{2\cdot n\cdot\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(n+1\right)}\)

\(< \frac{1}{2}\)

S1+S2=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+(13-14-15+16)+17-18

= 0+0+0+0-1=-1

S1+S2=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+(13-14-15+16)+17-18

=0+0+0+0-1

=-1

\(S_1=1+\left(-3\right)+5+\left(-7\right)+...+17\)

Số số hạng của tổng trên là: \(\frac{17-1}{2}+1=9\)

\(S_1=1+\left[-3+5\right]+\left[-7+9\right]+...+\left[-15+17\right]\)

\(S_1=1+2+2+2+2=9\)

\(S_2=-2+4+\left(-6\right)+8+...+\left(-18\right)\)

Số số hạng của tổng trên là: \(\frac{18-2}{2}+1=9\)

\(S_2=\left(-2+4\right)+\left(-6+8\right)+...+\left(-18\right)\)

\(S_2=2+2+2+2-18=-10\)

cả 2 cái cộng lại hay là từng cái một vậy bạn?

a) Ý bạn là: \(S_1=\frac{3}{4}+\frac{3}{4\cdot7}+\frac{3}{7\cdot10}+...+\frac{3}{40\cdot43}\)đúng không?

\(S_1=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{40}-\frac{1}{43}\)

\(S_1=1-\frac{1}{43}< 1\left(đpcm\right)\)

b) \(S_2=\frac{6}{2\cdot5}+\frac{6}{5.8}+\frac{6}{8\cdot11}+...+\frac{6}{29\cdot32}\)

=>\(\frac{S_2}{2}=\frac{3}{2\cdot5}+\frac{3}{5.8}+\frac{3}{8\cdot11}+...+\frac{3}{29\cdot32}\)

\(\frac{S_2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{29}-\frac{1}{32}\)

\(\frac{S_2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{32}=\frac{16}{32}-\frac{1}{32}=\frac{15}{32}\)

=>\(S_2=\frac{15}{32}\cdot2=\frac{15}{16}< 1\left(đpcm\right)\)

mk gộp dương vs dương âm vs âm rồi tính

kết bạn nha

s1 = 1+ (-3) +5 +(-7)+....+17 = (1+5+..+13+17)-(3+7+...+15) 

Áp dụng công thức : tổng dãy số cách đều = số số hạng . tổng số đầu và số cuối chia đôi 

s2 tương tự

S1+S2=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(9-10-11+12)+(13-14-15+16)+17-18

          =      0      +     0       +       0          +       0          +17-18

          =-1