Lời giải:

Gọi biểu thức là $A$. Đặt $n=2k+1$ với $k$ nguyên.

$A=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^4-1)(n^8-1)$

$=(n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)$

$=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)$

$=(2k)^2(2k+2)^2(4k^2+4k+2)^2(n^4+1)$

$=64[k(k+1)]^2(2k^2+2k+1)^2(n^4+1)$

Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên hiển nhiên chia hết cho 2

$\Rightarrow [k(k+1)]^2\vdots 4$

Với $n$ lẻ thì hiển nhiên $n^4+1\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots 64.4.2=512$ (đpcm)

tick cho mình đi đã rồi mình bày cho nếu khôn thì đừng mơ nhé

Ta có : \(n^3-3n^2-n+3=n^2.\left(n-3\right)-\left(n-3\right)=\left(n-3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)Vì n là số nguyên lẻ nên n có dạng 2k +1 ( n \(\in N\)*)

Thay n = 2k + 1 vào ta có :

\(\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-1\right)=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)2k=2\left(k-1\right).2\left(k+1\right).2k=8.k.\left(k-1\right).\left(k+1\right)⋮8\)

Mà \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮2\)

\(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮3\)

=> \(\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮6\)

=> \(8.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)⋮48\)

bai toan nay kho quá

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1) 
vì n lẻ nên: 
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2 
=> A chia hết cho 16(*) 
mặt khác: 
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1) 
xét các trường hợp: 
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 (**) 
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau). 
 

Việt Anh làm sai rồi,

"(n-1)(n+1) là tích 2 số liên tiếp chia hết cho 8

n-3 là số chẵn chia hết cho 2

=> A chia hết cho 16" ?

Xem lại bạn nhé, 2 và 8 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ban Jey làm sai rồi.Bạn Việt Anh chỉ ra rằng (n+1)(n-1) là hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 con (n+3) là một số chẵn nên chia hết cho 2 chứ không phải là bạn ấy chứng minh(n+3)(n+1)(n-1) vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 8 đầu. Bạn nói vậy là sai hoàn toàn