Giao điểm của \(d_1;d_2\) là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+4y-1=0\\8x+y-7=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Đây là đỉnh A hoặc B (do tọa độ khác tọa độ C)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(A\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường cao AH ứng với BC có pt là 5x+4y-1=0

Do AH vuông góc BC nên BC nhận (4;-5) là 1 vtpt

Phương trình BC: 

\(4\left(x-3\right)-5\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x-5y+13=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;6\right)=2\left(1;3\right)\Rightarrow\) AC nhận (3;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(3\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)

B thuộc BC nên tọa độ có dạng: \(\left(b;\dfrac{4b+13}{5}\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+3}{2};\dfrac{2b+19}{5}\right)\)

M thuôc trung tuyến \(d_2\) qua A nên:

\(8\left(\dfrac{b+3}{2}\right)+\left(\dfrac{2b+19}{5}\right)-7=0\) \(\Rightarrow b=-2\)

\(\Rightarrow B\left(-2;1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-3;2\right)\)

Phương trình AB: \(2\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y+1=0\)

ai biêt

Giả sử M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) MN, MP, NP là các đường trung bình của tam giác

\(\Rightarrow MN||BC\) ; \(MP||AC\) ; \(NP||AB\)

\(\overrightarrow{MN}=\left(3;2\right);\overrightarrow{MP}=\left(1;-5\right);\overrightarrow{PN}=\left(2;7\right)\)

\(\Rightarrow\) BC, AC, AB có vecto chỉ phương lần lượt là (3;2); (1;-5); (2;7)

Phương trình chính tắc BC qua P có dạng: \(\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y+4}{2}\)

Phương trình chính tắc AC qua N có dạng: \(\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-3}{-5}\)

Phương trình chính tắc AB qua M có dạng: \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{7}\)

Do G thuộc y=x nên tọa độ G có dạng: \(G\left(g;g\right)\)

Do C thuộc \(x+y+4=0\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;-c-4\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+1+c=3.g\\0+2-c-4=3g\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3g=0\\-c-3g=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\g=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(-1;-3\right)\)

Biết tọa độ 3 đỉnh, dễ dàng viết pt các cạnh

Thay tọa độ A vào 2 pt trung tuyến đều không thỏa mãn

\(\Rightarrow\) 2 trung đó đó xuất phát từ B và C, giả sử trung tuyến xuất phát từ B có pt x-2y+1=0 và từ C có pt y=1

\(\Rightarrow B\left(2b-1;b\right)\) ; \(C\left(c;1\right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) G là giao điểm 2 trung tuyến nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+2b-1+c=3.1\\3+b+1=3.1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\c=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\left(-3;-1\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\)

Biết 3 tọa độ 3 đỉnh của tam giác, dễ dàng viết được phương trình các cạnh