Giả sử →A1B=k→A1C;→B1C=m→B1A;→C1A=n→C1BA1B→=kA1C→;B1C→=mB1A→;C1A→=nC1B→

Theo giả thiết ta có : →AA1+→BB1+→CC1=⃗0=>→CA1+→AB1+→BC1=⃗0=>11−k→BC+11−n→AB+11−m→CA=⃗0AA1→+BB1→+CC1→=0→=>CA1→+AB1→+BC1→=0→=>11−kBC→+11−nAB→+11−mCA→=0→

hay →BC=1−k1−m→AC+1−k1−n→BABC→=1−k1−mAC→+1−k1−nBA→

mà →BC=→BA+→ACBC→=BA→+AC→

=> 1−k1−m=1;1−k1−n=11−k1−m=1;1−k1−n=1

=> k=m=nk=m=n

Theo định lí Cê va cho 3 đường đồng quy : kmn=−1kmn=−1=>k=m=n=−1k=m=n=−1

-> A1,B1,C1 là trung điểm BC,CA,AB

-> tam giác ABC đều 

mình cần gâps huhu

=>AM=AN

1:

a: góc AEH+góc ADH=180 độ

=>AEHD nội tiếp

b: góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC nội tiếp

c: BEDC nội tiếp

=>góc EBD=góc ECD

d: Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

Tam giác ADE và tg ABC có 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\\\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\left(\frac{AD}{AB}=\cos\widehat{A}=\frac{AE}{AC}\right)\end{cases}}\)

Suy ra ADE đồng dạng ABC

=> đpcm

sorry mk ch hojccasi này

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC

Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay AD/AB=AE/AC

Xét ΔADE và ΔABC có 

AD/AB=AE/AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔABC

Suy ra: \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)