a) 

b) Vì tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = \left( { - 1;4} \right),\overrightarrow {OE}  = \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {OF}  = \left( {5;0} \right)\)

c) 

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ   và \(\overrightarrow j \)là

 và \(\overrightarrow j  = (0;1)\)

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0\)

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá là đường thẳng \(\Delta\)

=> luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \)

=> vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có phương vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

a) Ta có vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \) , \(\overrightarrow {OB} \)và \(\overrightarrow {OC} \) là: \(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\)

b) Do tọa độ ba điểm A , B và C là: \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B}} \right),C\left( {{x_C},{y_C}} \right)\) nên ta có:\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},{y_A}} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},{y_B}} \right),\overrightarrow {OC}  = \left( {{x_C},{y_C}} \right)\)

Vậy\(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C};{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)

Tọa độ điểm G chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OG} \) nên tọa độ G  là \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)

a) Ta có: \(\overrightarrow u  = (2; - 3)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; - 12)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4\left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4.2.\;\overrightarrow i  + 4.\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = 6.\;\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)

c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u  = \overrightarrow a \)

Nhận xét

• Nếu \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \left( {k \ne 0} \right)\)cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

• Nếu đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) thì vectơ \(\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right)\)là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

a, \(\overrightarrow{BA}=\left(0-4;-2-1\right)\)

           =\(\left(-4;-3\right)\)

a) \(\overrightarrow{BA}=\left(4-0;1-2\right)\)

            \(=\left(4;-1\right)\)

Nhận xét

• Nếu ủ là một vectơ chỉ phương của A thì \(k\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\))cũng là một vectơ chỉ phương của A.

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Để xác định điểm A, ta làm như sau (Hình 8):

• Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ \(\overrightarrow u \).

• Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow u \) cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ \(\overrightarrow u \).

a) Do \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j .\), \(\overrightarrow v  = {x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j .\)

b) +) \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j } \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j  + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i  + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j \)

+) \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j } \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i  - {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j  - {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i  + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j \)

+) \(k\overrightarrow u  = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i  + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j \)

c) Tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)lần lượt là:

\(\left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2}} \right),\left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2}} \right),\left( {k{x_1},k{y_1}} \right)\)

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ \(\overrightarrow {ON} \) có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có:  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} \) (quy tắc hiệu)

Mà \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ (x; y); \(\overrightarrow {ON} \) có tọa độ (x’; y’).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {x'y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\)

c) Vì \(\overrightarrow {MN} \) có tọa độ \(\left( {x' - x;y' - y} \right)\) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \)