M là điểm chính giữa của cạnh AC

=>M là trung điểm của AC

N là điểm chính giữa của cạnh AB

=>N là trung điểm của AB

P là điểm chính giữa của cạnh BC

=>P là trung điểm của BC

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AM}{AC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBNP và ΔBAC có

\(\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BP}{BC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔBNP~ΔBAC

=>\(\dfrac{S_{BNP}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac{BN}{BA}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{BNP}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Xét ΔCPM và ΔCBA có

\(\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{CM}{CA}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔCPM~ΔCBA

=>\(\dfrac{S_{CPM}}{S_{CBA}}=\left(\dfrac{CP}{CB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{CPM}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{ANM}+S_{BNP}+S_{NMP}+S_{MPC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MPN}+30+30+30=120\)

=>\(S_{MPN}=30\left(cm^2\right)\)

Nối C với M 

Tam giác ACM và tam giác ACB có chung đường cao hạ từ C xuống cạnh AB; đáy AM = 1/2 đáy AB (Vì M là điểm chính giữac cạnh AB)

=> S (ACM) = 1/2 S(ABC) = 1/2 x 160 = 80 cm²

Xét tam giác AMN và tam giác ACM có chung chiều cao hạ từ M xuống cạnh AC; đáy AN = 1/4 đáy AC

=> S (AMN) = 1/4 x S (ACM) = 1/4 x 80 = 20 cm²

a/

Ta có 

\(NC=2AN\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

Hai tg ABN và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{ABN}=\dfrac{1}{3}xS_{ABC}\)

Hai tg DBN và tg DCN có chung đường cao từ D->BC và BM=CM nên

đường cao từ B->DM = đường cao từ C->DM

Hai tg DNA và tg DNC có chung đường cao từ D->AC nên

\(\dfrac{S_{DNA}}{S_{DNC}}=\dfrac{AN}{CN}=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg này lại có chung DN nên

\(\dfrac{S_{DNA}}{S_{DNC}}=\) đường cao từ A->DM / đường cao từ C->DM \(=\dfrac{1}{2}\)

=> đường cao từ A->DM / đường cao từ B->DM \(=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg DNA và tg DBN có chung DN nên

\(\dfrac{S_{DNA}}{S_{DBN}}=\) đường cao từ A->DM / đường cao từ B->DM \(=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S_{DBN}=2xS_{DNA}\)

\(\Rightarrow S_{DNA}=S_{DBN}-S_{ABN}=2xS_{DNA}-S_{DBN}\Rightarrow S_{DNA}=S_{ABN}=\dfrac{1}{3}xS_{ABC}=\dfrac{10}{3}cm^2\)

b/

Hai tg DNB và tg DNC có chung DN và đường cao từ B->DM = đường cao từ C->DM nên

\(S_{DNB}=S_{DNC}\)

c/ Hai tg DNA và tg ABN có chung đường cao từ N->DB nên

\(\dfrac{S_{DNA}}{S_{ABN}}=\dfrac{AD}{AB}=1\)