BĐT CẦN CM 

<=>   \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

<=>   \(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge9xyz\)

ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ TA ĐƯỢC:

\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\end{cases}}\)

NHÂN 2 BĐT ĐÓ LẠI TA ĐƯỢC:

\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=9xyz\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

Đây là bất đẳng thức Svacxo nhé 

và đây là dạng tổng quát và cách chứng minh 

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Ta có : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)

\(< =>\left(a^2x+b^2y\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(< =>\left(bx-ay\right)^2\ge0\)*đúng*

Áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có : 

\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

2. Có : 1/x + 1/y + 1/z = 0

=> 1 + x/y + x/z = 0 => x/y + x/z = -1

Tương tự : y/x + y/z = -1 ; z/x + z/y = -1

=> x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y = -3

Lại có : 1/x+1/y+1/z = 0

<=> xy+yz+zx/xyz = 0

<=> xy+yz+zx = 0

Xét : 0 = (xy+yz+zx).(1/x^2+1/y^2+1/z^2)

           = xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2+x/y+y/x+y/z+z/y+z/x+x/z

           = xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2-3

=> xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2 = 3

=> ĐPCM

Tk mk nha

Áp dụng BĐT Cô si ta có: 

\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a.4bc=16abc\)

vì x+y+z=1nên

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)

nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)

dau = xay ra khi x=y=z=1/3

bn có lời giải chưa

xD

Có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)(1)

\(=\frac{\left(x-z\right)\left(x+z\right)}{y+z}+\frac{\left(y-x\right)\left(x+y\right)}{z+x}+\frac{\left(z-y\right)\left(y+z\right)}{x+y}\)

\(\left(1\right)=S_1\left(x-z\right)^2+S_2\left(y-x\right)^2+S_3\left(z-y\right)^2\)

Trong đó:

\(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\\S_2=\frac{x+y}{\left(z+x\right)\left(y-x\right)}\\S_3=\frac{y+z}{\left(x+y\right)\left(z-y\right)}\end{cases}}\)

Giả sử: \(x\ge y\ge z\)( x,y,z lớn hơn 0)

Có: \(S_1=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}\ge0\)

Xét: \(S_1+S_2=\frac{x+z}{\left(y+z\right)\left(x-z\right)}-\frac{x+y}{\left(x+z\right)\left(x-y\right)}=\frac{\left(x+z\right)^2+\left(x+y\right)\left(y+z\right)^2+\left(y+z\right)\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)}{.....}\ge0\)

Xét tiếp \(S_1+S_3\)là xong

Không biết đúng k tại mình hơi yếu

*Nếu được giả sử như bạn Cà Bùi thì bài làm của em như sau,mong mọi người góp ý ạ!

Ta có: \(VT=\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}-\frac{x^2-z^2+y^2-x^2}{x+y}\)

\(=\left(x^2-z^2\right)\left(\frac{x+y-y-z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)+\left(y^2-x^2\right)\left(\frac{x+y-z-x}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}\right)\) (nhóm các số thích hợp + quy đồng)

\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x-z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{\left(z+x\right)}\)

Do a, b, c có tính chất hoán vị, nên ta giả sử y là số lớn nhất. Khi đó vế trái không âm hay ta có đpcm.

Bn giỏi quá !

Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$

Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$

$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$

BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.

KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$

Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:

$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement  ta có:

\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó

xml hkjmf,gkjbhvn jbkvmcbnvdyjxnbv hjgfvchjwbfhyergfvyug h ghbf vchdsvhdc ghv eucbtrgvtcfrtfvgtcb tybk cjvh dgsx     hjutygfvhyfhefrd cr fb kosciugyrturikjht54tr273r6734vn cjhvdfbv dfjbgerutjh37347t567  t gn fvbrhkjbfghty 66u 67gfbrhtb vbnbdffrhg ';\ hvgn hvbhzxn cb gvfycbher 74y6t5rbfvnhsgt hbgvdhcvhjgey6t5u gewytdfjbxjhdv bn 6t5675t47t5648b   gryjhvdhybgfvdghv d vdfstrcdgvcc ghfvdshvh bbv3rt364tr  bgryjhvbnh vznhbbcv  nbmhfbvdghbv mhdfbdschmaewugugf ygvrfyug s g dg vyga4ut53746r87hyu  rf5ygygcsrbv sdbv x vc  bgyergty4gfytrfygtyfgrgyfyjugrfauygfugdv euygt674y4375y74

Có: \(x+y+z=0\)

CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)

\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)

Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)

Từ (1) và (2):

Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)

Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)

bằng gì kệ màylởp 3 đó híhí

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

khi đó chứng minh được: \(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)mà x+y+z=0

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)từ đó

\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(3xyz\right)^2-2\cdot3\cdot x^2y^2z^2}{3xyz}\)

\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)(đpcm)