Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)

Đặt \(x=b+c-a>0\)

      \(y=a+c-b>0\)

     \(z=a+b-c>0\)

\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)

\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)

\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)

\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)

\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)

\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)

Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)

Cộng 3 bdt trên, suy ra :

\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"

P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé

\(\frac{2\left(Σab\right)}{Σa^2}\le\frac{2\left(Σa^2\right)}{a^2}=2\)

tuc la can cm \(Σ\frac{a}{b+c}\le\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\)

Nguoc dau voi BDT Nesbitt

vay BDT sai ko xay ra dau = maybe :3

Bất đẳng thức này mà ko loạn dấu thì tự làm đc r. Nhưng vế trước>=3/2, vế sau<=2 quá loạn dấu

Dễ mà, cần t sol ko?

Schur thử xem?

SOS chắc t ko có cửa đâu, chắc lại chờ anh tth đến làm vài đường cơ bản

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\le1-\frac{a}{b+c}+1-\frac{b}{c+a}+1-\frac{c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\le\frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\a+b+c=x+y+z\end{cases}}\)(Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)

Khi đó thì  \(a=\frac{y+z}{2},b=\frac{z+x}{2},c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\)\(2.\frac{y^2+2yz+z^2+z^2+2zx+x^2+x^2+2xy+y^2}{4}\)\(=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow\frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}\)\(=\frac{2x}{2x+y+z}+\frac{2y}{2y+z+x}+\frac{2z}{2z+x+y}\)\(=\frac{2x^2}{2x^2+xy+zx}+\frac{2y^2}{2y^2+yz+xy}+\frac{2z^2}{2z^2+zx+yz}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều

\(\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\)

\(=\frac{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{ab}\)

\(>\frac{b^2+\left(c-a\right).b}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right).c}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right).a}{ab}\)(BĐT tam giác)

\(=\frac{b+c-a}{c}+\frac{c+a-b}{a}+\frac{a+b-c}{b}\)

rồi sao đứng bánh r

Giải bằng lập luận tương đương nhá

Ta có: \(A=\frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-2ca-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{ab}>0\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{ac}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{ab}>0\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{ac}+\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{ab}>0\)

cmđ cái phân số đầu >0

2p/s sau quy đồng, lấy nhân tử chung là b+c-a là ra

Đặt a+b-c=x

       b+c-a=y

      c+a-b=z

\(A=\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\)

Ta có a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác nên x;y;z>0

\(4A=\frac{2a.2b}{x}+\frac{2b.2c}{y}+\frac{2c.2a}{z}\)

\(=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{z}\)

\(=3\left(x+y+z\right)+\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)

\(\ge3\left(x+y+z\right)+\frac{\left(x+y+z\right)xyz}{xyz}\)\(=4\left(x+y+z\right)=4\left(a+b+c\right)\)  (Do x;y;z>0)

\(\Rightarrow A\ge a+b+c\)

mới lớp 7 a ới