1.

\(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)

Tích 5 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3,5

Ngoài ra trong 5 số này sẽ luôn tồn tại 2 ít nhất 2 số chẵn, trong đó có 1 số chia hết cho 4

Do đó tích 5 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2*3*4*5=120

2.(Tương tự)

3.Trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 nên nó chia hết cho 2*2*4=16

Lại có trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3(cái này viết số đó dưới dang \(x\left(x+2\right)\left(x+4\right)\)rồi xét 3 trường hợp với x=3k, x=3k+1 và x=3k+2)

Do đó tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 3*16=48.

4.

Trong 4 số chẵn liên tiếp luôn tồ tạ 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 8, dó đó tích này chia hết cho 2*2*4*8=128

Lại có trong 4 số chẵn liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 3( làm như phần trên)

Do đó tích chia hết cho 3*128=384

5.

\(m^3-m=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

Đây là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Nên \(m^3-m\)chia hết cho 2*3=6

20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1  \(⋮\)321

vì 323=17.19

Ta thấy : 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1

            =(20ⁿ-1) + (16ⁿ-3ⁿ)

             20ⁿ-1\(⋮\)19 với n chẵn

 \(\Rightarrow\)(20ⁿ-1) + ( 16ⁿ -3ⁿ)\(⋮\)19      (1)

Mặt khác : 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1

              =( 20ⁿ-3ⁿ) + ( 16ⁿ-1)

               20ⁿ-3^n\(⋮\)17 với n chẵn 

               16ⁿ-1  \(⋮\)17 với n chẵn 

\(\Rightarrow\)(20ⁿ-3ⁿ) + ( 16ⁿ-1) \(⋮\)17     (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1 \(⋮\)17\(\times\)19

\(\Rightarrow\)20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1 \(⋮\)323 ( đpcm)