Giả sử (5n+6,8n+7)=k, k<>2 do 8n+7 lẻ 
=> (5n+6,[(8n+7)-(5n+6)])=k 
=> (5n+6, 3n+1)=k 
=> (2n+5,3n+1)=k 
=> (n-4, 2n+5)=k 
=> (2n-8,2n+5)=k 
> (13,2n+5)=k 
* 
=>k=13 => 2n+5=13m 
n=(13m-5)/2 (*) Vậy với m lẻ, 
Thay vào (*), được ước chung là 13 và 1 
{ thử với m=1,3 ,5 thì n=4,17,60... đúng} 

* =>k=1 
Với m <>(13m-5)/2 và m=(13m-5)/2 với m chẵn thì 2 số 5n+6 và 8n+7 có ước chung là 1

Gọi ƯC(5n+6; 8n+7) là d. Ta có:

5n+6 chia hết cho d => 40n+48 chia hết cho d

8n+7 chia hết cho d => 49n+35 chia hết cho d

=> 40n+48-(40n+35) chia hết cho d

=> 13 chia hết cho d

=> d \(\in\)Ư(13)

=> d \(\in\){1; -1; 13; -13}

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

Gọi d là ƯSC của 5n+6 và 8n+7

=> 5n+6 chia hết cho d nên 8(5n+6)=40n+48 cũng chia hết cho d

=> 8n+7 chia hết cho d nên 5(8n+7)=40n+35 cũng chia hết cho d

=> (40n+48) - (40n+35)=13 cũng chia hết cho d => d là ước của 13 => d thuộc {1; 13}

=> ƯSC của 5n+6 và 8n+7 thuộc {1; 13}

Gọi ƯC(5n+6;8n+6) là a.

Ta có:5n+6 chia hết cho a => 40+48 chia hết cho a

 8n+7 chia hết cho a =>49+35 chia hết cho a

=>40n+48-(40n+45) chia hết cho a

=>13 chia hết cho a

=>a thuộc Ư(13)

=>a={1;13}

gọi k là UCLN của 2n+1 và 6n+5

2n+1 chia hết cho k --> 6n+3 chia hết cho k

--> (6n+5)-(6n+3) chia hêt cho k --> 2 chia hết cho k

mà 2n+1 và 6n+5 đều lẻ

--> k=1