cho a,b,c là ba số nguyên khác 0 thỏa mãn \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3\). chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c là 3 số nguyên khác 0. Thỏa mãn:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3\). Chứng minh rằng tích \(abc\)là lập phương của một số nguyên
Ta có , vì: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3\)
=> \(1=\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)
=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
=> \(a=b=c\)
=>\(abc=a^3\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt a/b=x^3, b/c=y^3,c/a=z^3 . Vì a,b,c khác 0 nên x,y,z khác 0.
Ta có x^3.y^3.z^3=a/b.b/c.c/a=1 => (xyz)^3=1 => xyz=1 => x^3 +y^3 +z^3 =3xyz <=> x^3+y^3+z^3-3xyz=0
=> (x+y)^3 + z^3 -3xy(x+y) - 3xyz =0 <=> (x+y+z)[(x+y)^2 -(x+y)z + z^2 ] -3xy(x+y+z) =0 =>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-3xy-xz-yz)=0
Vi x,y,z khác 0 nên x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0 => 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0 => (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)=0
<=> (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0 => x-y=0 ;y-z=0 ; x-z=0 => x=y=z => x^3=y^3=z^3 => a/b=b/c=c/a => a=b=c => abc=a^3=b^3=c^3
Vậy tích abc lập phương của 1 số nguyên
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c,d là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\). chứng minh rằng tích abcd là một số chính phương
cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn abc=1 và
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}+\frac{a^3}{c}\)
Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c luôn tồn tại một số là lập phương của 2 số còn lại
cho a,b,c nguyên khác 0 thỏa
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3\)
CMR abc là lập phương một số nguyên
Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau, thỏa mãn : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\). Chứng minh tích abcd là một số chính phương.
Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}...\).Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho 3
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=> ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}=0\)
Mà \(a,b,c\)là số nguyên khác 0 \(\Rightarrow\)\(abc\ne0\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a+b=-c\)
Ta lại có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3.\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=0-0-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc⋮3\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc⋮3\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=0\)
Cho a , b , c là ba số hữu tỉ thỏa mãn abc = 1 và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}.\)Chứng minh rằng một trong ba số a , b , c là bình phương của một số hữu tỉ .
Cho a , b ,c là 3 số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\). Chứng minh rằng a + b là số chính phương.
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh:\(P=\sqrt{\frac{54a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{54b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{54c^2}{c^2-a^2-b^2}}\)là một số nguyên
.
Ta có : \(P=3\sqrt{6}\sqrt{\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}}\) = \(3\sqrt{6}.Q\)
Thấy : \(a^2-b^2-c^2=\left(b+c\right)^2-b^2-c^2=2bc\) ( do a + b + c = 0 )
Suy ra : \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\) . CMTT : \(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}=\frac{b^2}{2ac};\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{c^2}{2ab}\)
Suy ra : \(Q=\sqrt{\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}}=\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}}=\sqrt{\frac{3abc}{2abc}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\) ( vì a + b + c = 0 )
Khi đó : \(P=3\sqrt{6}.\sqrt{\frac{3}{2}}=9\) là 1 số nguyên
( Q.E.D)