Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a 2 + b 2 ≥ 2 a b ,   b 2 + c 2 ≥ 2 b c ,   c 2 + a 2 ≥ 2 c a  

Do đó:  2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9

Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi  a = b = c = 3

Vì  a ,   b ,   c   ≥ 1 , nên  ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b

Tương tự ta có  b c + 1 ≥ b + c ,   c a + 1 ≥ c + a  

Do đó  a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6

Mà   P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18

⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

Vậy maxP= 18 khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

4ac=2.b.2c≤2(b+2c2)2≤2(a+b+2c2)2=2.(12)2=12

⇒−4bc≥−12

⇒K=ab+4ac−4bc≥−4bc≥−12

Xét a=1,b=4,c=9 thì P=0

Xét \(a>1,b>4,c>9\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P=\frac{bc.\sqrt{a-1}.1+\frac{ca}{2}.\sqrt{b-4}.2+\frac{ab}{3}.\sqrt{c-9}.3}{abc}\)

\(\le\frac{bc.\frac{a-1+1}{2}+\frac{ca}{2}.\frac{b-4+4}{2}+\frac{ab}{3}.\frac{c-9+9}{2}}{abc}\)

\(=\frac{\frac{abc}{2}+\frac{abc}{4}+\frac{abc}{6}}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)

Nên GTLN của P là \(\frac{11}{12}\) đạt được khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a-1}=1\\\sqrt{b-4}=2\\\sqrt{c-9}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-4=4\\c-9=9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=8\\c=18\end{cases}}\)

\(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)

Vì \(a\ge1;b\ge4;c\ge9\). Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta được:

\(\sqrt{a-1}=1\cdot\sqrt{a-1}\le\frac{1+a-1}{2}=\frac{a}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{a-1}=1\Leftrightarrow a=2\)

\(\sqrt{b-4}=2\cdot\sqrt{b-4}\le\frac{4+b-4}{2}=\frac{b}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{b-4}=2\Leftrightarrow b=8\)

\(\sqrt{c-9}=3\cdot\sqrt{c-9}\le\frac{9+c-9}{2}=\frac{c}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{c-9}=3\Leftrightarrow c=18\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN của P\(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=2;b=8;c=18\)

Ta có: 2P=(a²+b²) + (b²+c²) + (c²+a²) 

Theo Cauchy có: 

\(2P\ge2ab+2bc+2ca=2\left(ab+bc+ca\right)=2.9\)

=> \(P\ge9\)=> P_min = 9 đạt được khi x=y=\(\sqrt{3}\)

Hoặc:

P²= (a²+b²+c²)(b²+c²+a²) 

Theo Bunhiacopxki có:

P²= (a²+b²+c²)(b²+c²+a²) \(\ge\)(ab+bc+ca)²=9²

=> P\(\ge\)9  => P_min=9

Vì \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)(gt) => \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)<=> ab -a -b + 1 \(\ge0\)(1)

\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)<=> bc - b - c + 1 \(\ge0\)(2)

\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)<=> ca -c - a + 1 \(\ge0\)(3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được: 

ab + bc + ca -2(a +b +c) + 3 \(\ge0\)

=> \(a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)

Mà \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\Rightarrow a+b+c\ge3\)=> \(3\le a+b+c\le6\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le36\)

=> \(a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-2\times9=18\)=> P \(\le18\)

Vậy GTLN của P là 18 

Dâu "=" xảy ra khivà chỉ khi:

a =b=1, c=4 

hoặc: b=c=1, a=4

hoặc: c=a=1, b=4

đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)

\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)

\(P=bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-9}+ab\sqrt{c-16}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{abc}=\dfrac{P}{1152}=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-9}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-16}}{c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(2\sqrt{a-1}\le a-1+1=a\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\le\dfrac{1}{2}\\ 2\sqrt{9\left(b-9\right)}\le9+b-9=b\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{b-9}}{b}\le\dfrac{1}{6}\\ 2\sqrt{16\left(c-16\right)}\le16+b-16=c\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{c-16}}{c}\le\dfrac{1}{8}\)

Cộng VTV \(\Leftrightarrow\dfrac{P}{1152}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{19}{24}\)

\(\Leftrightarrow P\le912\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b-9=9\\c-16=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=18\\c=32\end{matrix}\right.\)