tìm a,b thuộc N* thỏa mãn 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau và a+b là ước của 16ab+1
tìm tất cả các cặp số nguyên (a,b) thỏa mãn 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau và a+b là ước của 16ab+1
Bài 1: Tìm 6 SNT thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\)
Bài 2: Tìm SNT p để \(\frac{p+1}{2}\)và \(\frac{p^2+1}{2}\)là số chính phương
Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau; a+b là ước của 16ab+1
thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)
có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:
trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)
\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)
\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)
thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)
đến đây thì đơn giản
\(16ab+1⋮a+b\Leftrightarrow16ab+4a+4b+1=\left(4a+1\right)\left(4b+1\right)⋮a+b\)
\(d=\left(4a+1,a+b\right)\Rightarrow4a+1-4a-4b=1-4b⋮d\text{ hay }4b-1⋮d\Rightarrow\left(4a+1,a+b\right)=1\)
do đó: \(4b+1⋮a+b\Rightarrow4b+1=ka+kb\text{ với k}\le3\)
\(+,k=3\Rightarrow4b+1=3a+3b\text{ hay }b+1=3a\)
k=2 thì 4b+1=2a+2b hay 2b=2a-1
k=1 thì 3b+1=a
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thoả:
4a + 1 và 4b - 1 nguyên tố cùng nhau
16ab + 1 chia hết cho a + b
Cho 2 số nguyên tố cùng nhau a và b .Chứng tỏ rằng 2 số 13a+4b và 15a+7b hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 31
a) tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p+ 20 cũng là số nguyên tố
b) tìm ước chung lớn nhất (3a+2 ; 4a-1 ) a thuộc N
Bài 6 : Chứng minh rằng các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a, 2 số lẻ liên tiếp
b,2n+5 và 3n+7
Bài 7 :Cho ƯCLN (a;b) = 1. CMR
a, ước chung lớn nhất của a và a - b bằng 1
b, a.b và a+b có ước chung lớn nhất bằng 1.
Bài 8 :Cho a,b là 2 số tự nhiên khác 0 không nguyên tố cùng nhau
a=4n+3;b=5n+1 (n thuộc N)
Tìm ước chung lớn nhất của a và b
gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2K + 1 và 2K + 3
gọi d là ƯCLN( 2K+1;2K+3)
ta có ƯCLN(2k+1;2k+3)=d \(\Rightarrow\)2k+1 chia hết cho d 2k + 3 chia hết cho d
suy ra 2k+3 - 2k - 1 = 2 chia hết cho d
mà số lẻ ko chia hết cho 2
suy ra d = 1
vậy 2 số lẻ liên thiếp là 2 số nguyên tố cùng nhau
Cho 2 số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rảng 2 số 13a +4b và 15a +7b hoawbj nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 31
Lời giải đầy đủ
Chờ a, b là 2 số tự nhiên ko nguyên tố cùng nhau, a= 4n+3 , b=5n+1 [n thuộc N]. Tìm ước chung của a,b.
1.Tìm n thuộc N để 3n+2 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau
2.Chứng minh:Ước chung lớn nhất của 5a+3b và 13a+8b=Ước chung lớn nhất(a,b)với mọi a,b thuộc N