1. Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ 1 đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.

2. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu.

3. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Nếu 2 số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3.

4. Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a² + b² > 5c² thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.

5. Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai

a( 1 - b) > 1/4 ; b( 1- c) > 1/4 ; c( 1 - a ) > 1/4 

6. Chứng minh rằng \(\sqrt{ }\)2 là số vô tỉ

7. Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện: 

{ a+ b+ c> 0             (1)

{ ab + bc + ca > 0    (2)       

{ abc > 0                    ( 3)

CMR : cả ba số a, b, c đều dương

8. Chứng minh bằng phản chứng định lí sau : "Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau, thì tam giác ABC cân".

9. Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. CMR luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành 1 tam giác.

1. Cho hình chữ nhật có chu vi nhở hơn \(2\sqrt{2}\) và 1 tứ giác có các đỉnh nằm trên các cạnh khác nhau của hình chữ nhật đó. Chứng minh chu vi của tứ giác đó không nhỏ hơn 2

2. Cho tam giác ABC có diện tích S độ dài các cạnh a,b,c. Kẻ dường cao AH. Chứng minh rằng: \(S\)≤ \(\dfrac{1}{16}\left(3a^2+2b^2+2c^2\right)\)

3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là 1 điểm thay đổi trên BC, hạ MH⊥AB, MK⊥AC (H∈AB, K∈AC). Tìm max \(\left\{MH^4+MK^4\right\}\)

1. Cho tam giác ABC có đọ dài các đường hân giác trog nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng diện tích tam giác đó nhỏ hơn \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

2. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm , khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Nối mỗi điểm trong 2012 điểm này với điểm gần nhất.

CMR với cách nối này ta không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín

3. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm không thẳng hàng.

CMR tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong 2012 điểm đã cho mà đường tròn này không chứa bất kì điểm nào trong số những điểm còn lại

4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.

CMR qua mỗi điểm co không quá 5 đoạn thẳng

5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706. 

CMR tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a

1. Cho tam giác ABC có đọ dài các đường hân giác trog nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng diện tích tam giác đó nhỏ hơn \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 

2. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm , khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Nối mỗi điểm trong 2012 điểm này với điểm gần nhất.

CMR với cách nối này ta không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín

3. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm không thẳng hàng.

CMR tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong 2012 điểm đã cho mà đường tròn này không chứa bất kì điểm nào trong số những điểm còn lại

4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.

CMR qua mỗi điểm co không quá 5 đoạn thẳng

5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706. 

CMR tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a

a) Chứng minh rằng trong một tam giác, một góc sẽ là nhọn, vuông hay tù tùy theo cạnh đối diện với góc đó nhỏ hơn hay bằng hay lớn hơn hai lần đường trung tuyến kẻ tới cạnh đó

b) cho một tam giác có độ dài các cạnh là a,b,c đồng thời a-b=b-c. Điểm M là giao điểm của hai trung tuyến, P là giao điểm của các đường phân giác của góc trong tam giác đã cho. Chứng minh rằng MP song song với cạnh có độ dài bằng b