Vì mẫu số lũy thừa k của cơ số lớn hơn 1000 tăng nhanh hơn tử số với lũy thừa 2 (luôn dương) của k khi k tăng.

Vì k là số nguyên (âm, dương và số 0), nên khi số nguyên k nhỏ nhất, thì phân số trên đạt giá trị lớn nhất. Tức là k= \(-\infty\)

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Phạm Huyền Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Gọi \(A=\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\)

Đặt \(\frac{1}{k+1}=t\Rightarrow k+1=\frac{1}{t}\Rightarrow k=\frac{1}{t}-1\)

Khi đó \(A=\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}=3k\cdot\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=3\left(\frac{1}{t}-1\right)t^2\)

\(=-3t^2+3t=-3\left(t^2-t\right)=-3\left(t^2-t+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=-3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(t-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow-3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2\le0\Rightarrow A=-3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow k=1\)

Vậy Amax = 3/4 khi k=1

Với  \(k\ge19\)

Xét : \(\frac{20^k+18^k}{k!}-\frac{20^{k+1}+18^{k+1}}{\left(k+1\right)!}=\frac{20^k}{k!}\left(1-\frac{20}{k+1}\right)+\frac{18^k}{k!}\left(1-\frac{18}{k+1}\right)\)

\(\ge\frac{18^k}{k!}\left(2-\frac{38}{k+1}\right)>0\)

=> \(\frac{20^k+18^k}{k!}>\frac{20^{k+1}+18^{k+1}}{\left(k+1\right)!}\)với k >= 19

=> \(\frac{20^{19}+18^{19}}{19!}>\frac{20^{20}+18^{20}}{20!}>\frac{20^{21}+18^{21}}{21!}>...\)(1)

Với \(k\le19\)

\(\frac{20^k+18^k}{k!}-\frac{20^{k-1}+18^{k-1}}{\left(k-1\right)!}=\frac{20^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\left(\frac{20}{k-1}-1\right)+\frac{18^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\left(\frac{18}{k-1}-1\right)\)

\(>\frac{18^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\left(\frac{38}{\left(k-1\right)}-2\right)>0\)

=> \(\frac{20^k+18^k}{k!}>\frac{20^{k-1}+18^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\) với k <= 19

=> \(\frac{20^{19}+18^{19}}{19!}>\frac{20^{18}+18^{18}}{18!}>...>\frac{20^1+18^1}{1!}\)(2) 

Từ (1); (2) => k = 19 thì \(\frac{20^k+18^k}{k!}\) có giá trị lớn nhất.

tk mk nha

Ta có :

\(K=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}=\frac{2\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}+\frac{13}{\sqrt{x}-5}=2+\frac{13}{\sqrt{x}-5}\)là số nguyên dương 

<=> 13 chia hết cho \(\sqrt{x}-5\)

<=> \(\sqrt{x}-5\inƯ\left(13\right)=\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

<=> \(\sqrt{x}\in\left\{-12;4;6;18\right\}\)

<=> \(x\in\left\{16;36;324\right\}\) (vì \(\sqrt{x}\ge0\))

Do x nguyên và x có GTLN nên x = 324