\(\hept{\begin{cases}x+y+z=13\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2=91\\y^2=xz\left(3\right)\end{cases}}\left(2\right)\)

Ta có: (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=13²

=> x²+y²+z²=169-2(xy+yz+zx)

Thay vào PT (2) ta được: 169-2(xy+yz+zx)=91

=> xy+yz+zx=39

<=> xy+yz+y²=39 (Do xz=y²)

=> y(x+y+z)=39 <=> y.13=39 => y=3

Thay y=3 vào PT (1) và (3), ta được:

\(\hept{\begin{cases}x+z=10&xz=9&\end{cases}}\)

=> x(10-x)=9 <=> x²-10x+9=0  <=> (x²-10x+25)-16=0 <=> (x-5)²-4²=0 <=> (x-9)(x-1)=0

=> x₁=9 => z₁=1

Và: x₂=1 => z₂=9

Các cặp nghiệm (x,y,z) là: (9,3,1) và (1,3,9)

\(\hept{\begin{cases}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=0\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\)

=>\(\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2=-\frac{3}{2}\) vo lý

=> hệ vô nghiệm

???? Cao Văn  Đức !!!!

Bài làm chả có căn cứ J cả?

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=2.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall z;y\\\left(z-x\right)^2\ge0\forall z;x\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x;y;z\)

Mà \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2=3\)

\(\Leftrightarrow3x^2=3\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)

a/ Đảo ngược lại rồi đặc \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

b/ Dễ thấy vai trò x, y, z như nhau nên ta chỉ cần xét 1 trường hợp tiêu biểu thôi.

Xét \(x>y>z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}< \frac{1}{y}< \frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}>z+\frac{1}{x}\)(trái giả thuyết)

\(\Rightarrow x=y=z\)'

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

ta nhân vế đầu cho 2 ta được:

\(2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

mà \(\left(x-y\right)^2>=0;\left(y-z\right)^2>=0;\left(z-x\right)^2>=0\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

thế vào 2 ta có \(x^{2001}+x^{2001}+x^{2001}=3^{2002}\Leftrightarrow x^{2002}=3^{2002}\Leftrightarrow x=3\)