Bài làm:

Ta có: Xét bất đẳng thức sau:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức trêm vào biểu thức:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a+1}.\frac{a+1}{a}}=2.1=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a}\ge2\)

Học tốt!!!!

no not

Vay (6n+42) chia het cho 6n

Ma 6n chia het cho 6n 

Nen 6n € Ư (42)

Ma Ư (42)={1;2;3;6;7;14;21;42)

Vi 6,42 cha het cho 6

Nen 6n€ {6,42)

=> n=1 hoac n=7

Lời giải:
Ta sẽ cm $A_n=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+....+\frac{n-1}{n!}=\frac{n!-1}{n!}$ với mọi $n\geq 2$ bằng quy nạp.

Thật vậy:

Với $n=2$ thì: $A_2=\frac{1}{2!}=\frac{2!-1}{2!}$

Với $n=3$ thì $A_3=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}=\frac{3}{3!}+\frac{2}{3!}=\frac{5}{3!}=\frac{3!-1}{3!}$

.......

Giả sử khẳng định trên đúng đến $n=k$. Tức là 

$A_k=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k-1}{k!}=\frac{k!-1}{k!}$

Ta cần chỉ ra $A_{k+1}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k-1}{k!}+\frac{k}{(k+1)!}=\frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}$

Ta có:

$A_{k+1}=A_{k}+\frac{k}{(k+1)!}=\frac{k!-1}{k!}+\frac{k}{(k+1)!}$

$=\frac{(k+1)(k!-1)}{(k+1)!}+\frac{k}{(k+1)!}=\frac{(k+1)!-(k+1)+k}{(k+1)!}$

$=\frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}$

Phép quy nạp hoàn thành.

Áp dụng vào bài toán:

 $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{9}{10!}=\frac{10!-1}{10!}<1$

kho..................lam............................tich,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,minh..........................troi........................ret............................wa.................ung ho minh.................hu....................hu..............hu................hat..............hat....................s

bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương \(\frac{a}{a+1}\)và\(\frac{a+1}{a}\)có

\(\frac{a}{a+1}+\frac{a+1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a+1}.\frac{a+1}{a}}=2\)

Lớp 6 chưa học BĐT cauchy bạn ơi :D

Gọi ƯCLN(3n+4;n+1) là d.

=>3n+4 chia hết cho d và n+1 chia hết cho d.

=>3.(n+1) chia hết cho d

=>3n+4    ___________d và 3n+3 chia hết cho d

=>(3n+4)-(3n+3) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>ƯCLN(3n+4;n+1)=1 nên 2 số 3n+4 và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.