\(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+100\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố thì \(n^2-6n+10=1\left(h\right)n^2+6n+10=1\)

Do \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Ta có \(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì \(\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=1\end{cases}}\)

Do \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

Có \(n^2-6n+10=1\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy với n = 3 thì \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố

\(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì 

\(n^2+6n+10\)là số nguyên tố và \(n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Ta có:

( n² - 8 )² + 36

= n⁴ - 16n² + 64 + 36

= n⁴ + 20n² + 100 - 36n²

= ( n² + 10 )² - ( 6n )²

= ( n² + 10 + 6n )(n² + 10 - 6n)

Mà để (n² + 10 + 6n)(n² + 10 - 6n) là số nguyên tố thì n² + 10 + 6n = 1 hoặc n² + 10 - 6n = 1

Mặt khác ta có: n² + 10 - 6n < n² + 10 + 6n \(\Rightarrow\)n² + 10 - 6n = 1 ( n \(\in\)N )

n² + 9 - 6n = 0 hay ( n - 3 )² = 0 \(\Rightarrow\)n = 3

Vậy với n = 3 thì ( n² - 8 ) là số nguyên tố

Mình làm đúng đó

Đảm bảo 100%  

nha

Cảm ơn bạn At the speed of light nhiều nhé. Chúc bạn luôn vui vẻ trong cuộc sống.

a) \(P=n^3-n^2-n-2\)

\(P=n^3-2n^2+n^2-2n+n-2\)

\(P=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)+\left(n-2\right)\)

\(P=\left(n-2\right)\left(n^2+n+1\right)\)

Lỡ tay ấn nhầm nút gửi, làm tiếp 

Ta có \(P=\left(n-2\right)\left(n^2+n+1\right)\)

Để P nguyên tố thì P có một thừa số bằng 1

+) TH1: \(n-2=1\Leftrightarrow n=3\)

Khi đó \(P=13\)( thỏa )

+) TH2: \(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-1\end{cases}}\)

Với \(n=0\Leftrightarrow P=-2\)( loại )

Với \(n=-1\Leftrightarrow P=-3\)( loại )

Vậy \(n=3\)thỏa mãn.

b) \(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+100\)

\(=n^4+20n^2+100-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

Do đó lý luận như câu a ta được :

\(n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow n=3\)

Vậy...